Peut-on vivre l'extraordinaire au quotidien?

PREPARER LE CCF : Analyse de phénomènes exponentiels 1[pic 1]

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1ère Partie :        Coût marginal et coût moyen

Une petite entreprise de matériel électronique et informatique assemble des ordinateurs.

Pour x ordinateurs assemblés par jour, le coût de production en euros est donné par :

C(x) = 15x2 + 15x+ 5 700.

L'entreprise peut assembler de 0 à 50 ordinateurs par jour.

1. a) Quels sont les coûts fixes ?

Rappel :  les coûts fixes ( location des locaux, amortissement des matériels,   [pic 2]

              contrats électricité, téléphone, …) sont les coûts lorsque x = 0.

                    C(0) = 5 700                Les coûts fixes sont de 5 700 €.[pic 3]

b) Ouvrir le fichier « Ordinateurs » et se positionner sur la feuille de calcul « Coûts ».[pic 4]

    Compléter la colonne des coûts de production.

1. a) Calculer le coût marginal du 15ème ordinateur fabriqué.

Rappel :  le coût marginal au rang x est le coût de production d’un article  

               supplémentaire. Il est égal à :         Cmarginal =  C(x) – C(x-1)[pic 5]

            Cmarginal =  C(15) – C(14)        ⇒         Cmarginal =  9 300 – 8 850

                                                Cmarginal =  450[pic 6]

            Le coût marginal du 15ème ordinateur est de 450 €.

1. Calculer le coût moyen unitaire pour 15 ordinateurs assemblés dans la journée.

[pic 7]

            Cmoyen (15) = C(15)/15 = 9 300 / 15 = 620    [pic 8]

Le coût moyen unitaire pour 15 ordinateurs est de 620 €.

1. a) Compléter les colonnes C et D en calculant le coût marginal et le coût moyen de chaque  

    ordinateur produit.[pic 9]

[pic 10]

   Appel :        Appelez le professeur pour valider votre tableau.

b) Pour quelle quantité produite x0 le coût marginal est-il égal au coût moyen ?

[pic 11]

            Pour x0 = 20, le coût marginal est égal au coût moyen.         [pic 12]

1. Quel est le nombre d’ordinateurs que l’entreprise doit fabriquer pour que le coût[pic 13]

               moyen soit minimum ?

[pic 14]

                     Le coût moyen est minimal pour 19 ou 20 ordinateurs et il est égal à 600 €.

         4) Dans la propriété suivante, placer les trois mots manquants parmi : minimum, maximum,  

             croissant, décroissant.

     «Tant que le coût marginal est inférieur au coût moyen, le coût moyen est décroissant[pic 15]

    Dès que le coût marginal est supérieur au coût moyen, alors le coût moyen est croissant

          Le coût marginal est donc égal au coût moyen, au minimum du coût moyen ». 

2ème Partie :        Recette et bénéfice

Tout ordinateur assemblé est vendu au prix de 735 € l'unité.

On note R(x) la recette correspondant à la vente de x ordinateurs.

           On désire étudier le coût de production et le bénéfice afin d'optimiser la production.

[pic 16]

1. Exprimer la recette en fonction de x :         R(x) = 735x

    2) Compléter la colonne E en calculant la recette réalisée en fonction du nombre

      d’ordinateurs vendus.[pic 17]

      Représenter graphiquement le coût de production C(x) et la recette R(x).

     Imprimer votre graphique.

  3)  Entourer la valeur x0 trouvée à la question 3)b) de la 1ère partie.

       Indiquer l’intervalle de production qui vérifie la 2nde phrase de la question 4) de la 1ère  [pic 18]

       partie.

         Le coût moyen est croissant sur l’intervalle [21 ; 50] (ou]20 ; 50]) car  [pic 19]

        Cmarginal > Cmoyen

1. D’après le graphique, conjecturer la plage de profit, lorsque le bénéfice est positif ou nul. Expliquer la méthode de lecture.

[pic 20]

                La plage de bénéfice positif ou nul est l’intervalle [10 ; 38] car sur cette

intervalle R(x) ≥ C(x).

                 Graphiquement : courbe de la recette au-dessus de la courbe du coût)[pic 21]

1. Exprimer le bénéfice B(x) en fonction de x.

[pic 22]

                     B(x) = R(x) – C(x)

                B(x) = 735x – (15x² + 15x + 5 700)

                        B(x) =- 15x² + 720x – 5 700

 Appel :        Appelez le professeur pour valider B(x).[pic 23]

1. a) Montrer que le bénéfice admet un maximum pour une quantité x1.

[pic 24]

                 Maximum pour B’(x) = 0 :                B’(x) = - 30x + 720

                                                         B’(x) = 0 si x1 = 24         

    b) Comparer cette quantité à x0 ?

  [pic 25]

                x1 > x0

    c) Calculer le bénéfice maximum. [pic 26]

                B(24) = 2 940        Le bénéfice maximal est de 2 940 €.

1. Résoudre algébriquement l’équation – 15 x² + 720 x – 5 700 = 0.

              Δ = 176 400                Les solutions sont 10 et 38.[pic 27]

1. Interpréter concrètement les solutions de cette équation.

[pic 28]

L’entreprise réalise du bénéfice lorsqu’elle fabrique et vend entre 11 et

37 ordinateurs.[pic 29]

Pour 10 et 38 ordinateurs, le bénéfice est nul.

1. Le commercial propose les ordinateurs assemblés par cette entreprise à un hypermarché.

     L’hypermarché lui fait une offre à 600 € par ordinateur. [pic 30]

     Pensez-vous que cette offre puisse engendrer un profit pour l’entreprise ?

    Argumenter votre réponse.[pic 31]

    600 € correspond au coût moyen minimal par ordinateur.

Donc la vente à 600 € n’engendrera pas de bénéfice.