Les options réelles

on peut attendre, pour décider, de connaître le niveau des rentrées d’argent, l’arbre de décision devient :

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Il y a maintenant une chance sur deux d’obtenir 55 et une chance sur deux d’obtenir 0 : on n’investira que dans le cas favorable.

Si on utilise le même taux d’actualisation que précédemment,on obtient cette fois une VAN positive :

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Il y a cependant un problème avec cette approche : le taux d’actualisation ne correspond plus au degré de risque des flux. En effet le pari n’est plus «une chance sur deux d’obtenir 170 et une chance sur deux d’obtenir 65», mais bien «une chance sur deux d’obtenir 55 et une chance sur deux d’obtenir 0». Le titre «jumeau» ne peut plus nous servir à estimer le taux d’actualisation, puisque le risque n’est plus le même (on ne retrouve plus la proportionnalité entre les résultats).

La troisième approche, celle des options réelles, va régler ce problème.

Troisième approche : l’évaluation d’une option

Ne sachant pas quel taux d’actualisation utiliser, nous allons contourner la difficulté en construisant un portefeuille, composé de N titres «jumeaux» et d’un montant B (exprimé en $) de titres sans risque (bons du Trésor ou obligations gouvernementales). Ce portefeuille devra avoir exactement les mêmes caractéristiques de risque que notre projet avec flexibilité, c'est-à-dire avoir «une chance sur deux d’obtenir 55 et une chance sur deux d’obtenir 0». On sait que le titre jumeau, lui, a une chance sur deux de rapporter 34 et une chance sur deux de rapporter 13. Le titre sans risque, lui, rapporte toujours 8%. Les deux égalités suivantes doivent donc être respectées :

N x 34 + B x (1 + 8%) = 55

N x 13 + B x (1 + 8%) = 0

On en déduit que N = (55 – 0) / (34 – 13) = 2,62 et B = -31,53$. Autrement dit, on emprunte 31,53$ au taux sans risque et on achète 2,62 titres jumeaux. Sachant qu’un titre jumeau vaut 20$, et que ce portefeuille équivalent doit avoir la même valeur que le projet[2], on en déduit la valeur actuelle nette (VAN) du projet avec flexibilité par :

VANavec = N x 20$ + B = 2,62 x 20 – 31,53 = 20,86$

En tenant compte de la flexibilité et des bonnes caractéristiques de risque des flux, on trouve donc une VAN positive et le projet mérite d’être considéré. On devra le suivre durant toute la prochaine année et on prendra la décision finale de l’entreprendre ou non dans un an seulement, lorsqu’on connaîtra les rentrées d’argent.

Quelle est la valeur de l’option? C’est la valeur supplémentaire associée à la possibilité de retarder la décision, ou encore la différence entre la VAN avec flexibilité et la VAN sans flexibilité :

Valeur de l’option = VANavec – VANsans = 20,86 – (-6,48) = 27,34$

Notez que, pour évaluer N et B, on aurait aussi pu utiliser directement la valeur du projet sans flexibilité, ainsi que les rentrées d’argent correspondantes. On sait que la valeur actuelle des flux du projet sans flexibilité est de 100$ et que les rentrées d’argent seront soit de 170$, soit de 65$. Les deux égalités suivantes doivent donc être respectées :

N x 170 + B x (1 + 8%) = 55

N x 65 + B x (1 + 8%) = 0

On en déduit que N = (55 – 0) / (170 – 65) = 0,524 et B = -31,53$. D’où :

VANavec = N x 100$ + B = 0,524 x 100 – 31,53 = 20,86$

Ceci montre qu’il n’y a nul besoin de connaître un miraculeux «titre jumeau» pour faire l’évaluation. Tout ce qu’il suffit de savoir, ce sont la valeur du projet sans flexibilité[3] et les rentrées d’argent prévues. Or cette valeur sans flexibilité doit toujours être estimée. Elle l’est généralement par utilisation d’un taux d’actualisation utilisant le CAPM, ou encore par simulation.

Sachant maintenant quelle est la valeur du projet avec flexibilité, on peut vérifier quel est le taux d’actualisation implicite correspondant à cette valeur. On doit avoir :

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D’où k = 31,9%. Le pari que l’on fait est plus risqué : (55, 0) plutôt que (170, 65), ou encore (+164%, -100%) par rapport à 20,86, plutôt que (+70%, -35%) par rapport à 100. Le taux d’actualisation doit donc être plus élevé.

Mais il y a plus : on peut montrer que la constitution d’un portefeuille équivalent permet d’évaluer quel est l’équivalent certain des rentrées d’argent générées par le projet. C’est ce que nous allons voir maintenant.

Équivalent certain et probabilités neutres au risque

Si la valeur du projet avec flexibilité est de 20,86 maintenant, elle doit être, en certitude, de 20,86 x (1 + 8%) = 22,524 dans un an. Ceci est l’équivalent certain EC(FM) du pari (55, 0). Notez que l’équivalent certain de ce pari est nettement inférieur à son espérance mathématique E(FM), qui est de 50% x 55 + 50% x 0 = 27,50. On obtient la VAN du projet avec flexibilité soit en actualisant l’espérance mathématique des flux à 31,9%, soit en actualisant l’équivalent certain au taux sans risque de 8%.

Notons qu’il est possible, moyennant certaines transformations algébriques, d’exprimer cet équivalent certain en fonction des rentrées d’argent futures :

EC(FM) = p x FMhaut + (1 – p) x FMbas

où