Conception des régulateurs PID sur Matlab

Atelier N°1:

Conception des régulateurs PID sur Matlab

I- Etude temporelle et fréquentielle des systèmes

1- Etude des systèmes de premier ordre

Soit un système de premier ordre avec un gain statique K=5.

a) Créer un nouveau fichier MATLAB et introduire les fonctions de transfert d’un système de premier ordre pour différentes valeurs de la constante du temps :

0.5 s 2 s 5 s

b) Tracer, sur la même figure, la réponse indicielle à un échelon d’amplitude 2.

c) Déterminer graphiquement le temps de stabilisation à ± 5% à partir des réponses indicielles représentées à la question précédente.

d) Tracer la réponse du système suite à une rampe d’amplitude 2 avec 2s .

e) Tracer, sur la même figure, les lieux de Bode, Nyquist et Black-Nichols pour

0.5 s 2 s 5 s

f) Interpréter et conclure.

2- Etude des systèmes du second ordre

Soit un système du second ordre de la forme suivante

En prenant les valeurs suivantes : K=1,n200rad/ s et

m0.01 m0.5 m1 m1.2

a) Tracer, sur la même figure, les réponses indicielles à un échelon unitaire pour chaque valeur de m.

b) Déterminer graphiquement le dépassement D%, le temps de pic tp et le temps de stabilisation à ± 5% pour chaque valeur de m

c) Tracer, sur la même figure, les lieux de Bode, Nyquist et Black-Nichols pour chaque valeur de m.

d) Déterminer graphiquement le pic de résonance, la pulsation de résonance et la bande passante pour chaque valeur de m.

e) Interpréter et conclure.

II- Conception des Régulateurs PID

Dans cet atelier, nous allons introduire une structure évaluations compensateur simple mais polyvalent, le contrôleur (PID) Proportionnel-Intégral-Dérivé. Nous allons discuter de l'effet de chacun des paramètres PID sur la dynamique en boucle fermée et de démontrer comment utiliser un régulateur PID pour améliorer les performances du système.

Commandes MATLAB à utiliser sont: tf, step, pid, feedback, pidtool, pidtune

1- Présentation des PID

Dans ce TP, nous allons étudier le système suivant:

La sortie d'un régulateur PID, égale à l'entrée de commande du système, dans le domaine temporel est la suivante:

(1)

La fonction de transfert d'un contrôleur PID est trouvée en prenant la transformée de Laplace de l'Eq. (1).

(2)

Kp = gain Proportionnel Ki= gain Intégral Kd = gain Dérivé

Nous pouvons définir un régulateur PID dans MATLAB en utilisant la fonction de transfert directement, pid, tf:

1. Créer un nouveau fichier MATLAB et introduire les fonctions de transfert un régulateur PID pour différentes valeurs des gains :

Kp = 1;

Ki = 1;

Kd = 1;

s = tf('s');

C = Kp + Ki/s + Kd*s

Ou bien

C = pid(Kp,Ki,Kd)

tf(C)

2- Les caractéristiques du contrôleur P, I, D

Un contrôleur proportionnel (Kp) aura pour effet de réduire le temps de montée et de réduire mais jamais éliminer l'erreur statique. Un contrôleur intégral (Ki) aura pour effet d'éliminer l'erreur statique pour une entrée constante ou pas, mais il peut faire la réponse transitoire plus lent. Un contrôleur dérivé (Kd) aura pour effet d'augmenter la stabilité du système, réduisant ainsi le dépassement, et en améliorant la réponse transitoire.

Les effets de chacun des paramètres du régulateur Kp , Ki et Kd sur un système en boucle fermée sont résumés dans le tableau ci-dessous

RÉPONSE Temps de montée Dépassement Durée de stabilisation erreur statique

Kp diminue Augmente petit changement diminue

Ki diminue Augmente Augmente Elimine

Kd petit changement diminue diminue pad de changement

III- Problème

Supposons que nous avons une masse, ressort, et le problème d'amortisseur simple.

L'équation de modélisation de ce système est

(3)

2. Déterminer la fonction de transfert entre le déplacement X(s) et l'entrée F(s) :

Soit

M = 1 kg, b = 10 N s/m, k = 20 N/m, F = 1 N

3. Complétez ces valeurs dans la fonction de transfert ci-dessus

Le but de ce problème est de montrer comment chacun des gains Kp , Ki et Kd contribue à obtenir

Temps de montée rapide

dépassement minimum

Pas d'erreur à l'état