Guérir par le rire

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Introduction

Le but de cette série travaux pratiques est de créer un programme permettant d’évaluer l’impact de la fréquence d’échantillonnage sur différents types de signaux. Dans un premier temps, sur un signal harmonique pur d’amplitude A, de fréquence F0 et de fréquence d’échantillonnage Fe. Puis sur la somme de deux signaux harmoniques de fréquences proches et enfin sur la somme de deux signaux harmoniques de fréquences éloignées.

L’objectif est double. Il consiste à mettre au point un programme permettant de faire varier les paramètres d’un signal, ainsi qu’à rédiger un rapport.

Table des matières

Introduction        1

Programmation        3

Interface Homme-machine        9

Résultats        15

Conclusion        16

Glossaire        17

Programmation

1. Signal harmonique pur : x = A*sin(2*π*f0*t)

On souhaite représenter l’amplitude A d’un signal harmonique pur en fonction du temps t. Pour ce faire, on fixe les paramètres d’entrée suivants, qui seront également valables pour la somme de deux signaux de fréquences proches ou éloignées :

• L’amplitude A=1
• La fréquence du signal F0=3 Hz
• La fréquence d’échantillonnage Fe=100 Hz

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On initialise le vecteur temps sur lequel nous travaillerons comme allant de 0 à 1 sec avec un pas de 1/Fe.

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En lançant le programme, on obtient le graphe suivant :

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Sur un second graphe, on souhaite faire apparaître la valeur absolue de la transformée de Fourier du signal x en fonction de la fréquence d’échantillonnage Fe.

Pour ce faire, on crée le vecteur fréquence qui n’est autre que le vecteur temps multiplié par la fréquence d’échantillonnage par unité de temps.

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 On obtient le graphe suivant :

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Le graphe présente alors deux pics : un en f = 3Hz et un autre en f = 97Hz, or on souhaite n’en obtenir qu’un (correspondant à f = 3Hz). Pour les fréquences supérieures à Fe/2, le spectre correspond au spectre dans les fréquences négatives recopié à la suite du spectre dans les fréquences positives de 0 à Fe/2.

On veut trier de façon décroissante un vecteur. Pour ce faire, on transcrit les coordonnées dans un autre vecteur de même dimension, en effectuant une concaténation, à l’aide d’une fonction tri. Ainsi, on peut en extraire la valeur maximale et l’inclure dans un tableau : T = [Posmax, maxtempo].

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On utilise alors la fonction floor afin de ne prendre en considération que les fréquences comprises entre 0 et 50Hz :

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Enfin, on souhaite afficher la valeur maximale admise par le signal fréquentiel.

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Figure 1: Signal harmonique pur

1. Somme de deux signaux harmoniques

1. De fréquences proches

On souhaite représenter l’amplitude A de la somme de deux signaux harmoniques purs de fréquences proches en fonction du temps t.

Soient deux signaux :  x0 = A*sin(2*p*f0*t) et x’ = A*sin(2*π*(f0+ε)*t).

Leur somme est : x=x0+A*sin(2*π*(f0+ε)*t), où ε est petit (ε = 2 Hz) de façon à ce que f0+ε soit proche de f0.

1. De fréquences éloignées

Soient deux signaux : x0 = A*sin(2*p*f0*t) et x’’ = A*sin(2*π*λ*f0*t)

Leur somme est x= x0 + A*sin(2*π*λ*f0*t) où λ est grand (λ=10),  c’est-à-dire dix fois supérieur à la fréquence f0 du signal x0.

1. Choix de la fonction

Dans les deux cas, il s’agit d’une somme de fonctions de fréquences différentes. Il suffira donc de laisser le choix à l’utilisateur de l’application qu’il souhaite : un signal harmonique pur, une somme de deux signaux de fréquences proches ou éloignées.

On initialise les paramètres et les signaux.

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Puis on choisit le signal.

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Puis on le trace.

subplot(2,1,1)                       % Traçage du signal harmonique pur

plot(t,x,'b-')                      

grid on                              % Grille du graphe

if flag=='x1';                       % Signal harmonique pur

    title(['Signal harmonique pur de la forme : ',num2str(A),'*sin(*2*pi*',int2str(F0),'*t)']);

elseif flag=='x2';                   % Somme de 2 signaux (fréquences proches)

    title(['Somme de signaux harmoniques purs de la forme : ',num2str(A),'*sin(*2*pi*(',int2str(F0+E),')*t)']);

else

    flag=='x3';                      % Somme de 2 signaux (fréquences éloignées)

    title(['Somme de signaux harmoniques purs de la forme : ',num2str(A),'*sin(*2*pi*',int2str(L*F0),'*t)']);

end

xlabel('Temps t (s)')                % Nom axe des abscisses

ylabel('Amplitude A')                % Nom axe des ordonnées

F=abs(fft(x));                       % Valeur absolue d'une approche de la TF

f=t*Fe/1;                            % Vecteur fréquence

subplot(2,1,2);                      % Deuxième graphe

stem(f(1:floor(Fe/2)),F(1:floor(Fe/2)),'r-')

grid on

title('Signal fréquentiel')

xlabel('Fréquence f (Hz)')

ylabel('|TF|')

T=tri(f);

text((T(1,1)),(T(1,2)+55),num2str(max(F)))

Ainsi, à un signal pur (choix 1) correspond la Figure 1 : Signal harmonique pur.

La somme de deux signaux harmoniques de fréquences proches (choix 2) est représentée sur la Figure 2 et la somme de deux signaux harmoniques de fréquences éloignées sur la Figure 3.

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Figure 2: Somme de deux signaux harmoniques de fréquences proches

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Figure 3 : Somme de deux signaux harmoniques de fréquences éloignées

On remarque que plus la fréquence des deux signaux sommés est éloignée, plus le signal est bruité.

Interface Homme-machine

Le but de cette interface est de pouvoir commander de façon relativement simple quelle signal étudier, de rendre le programme plus ergonomique.