Rappel sur les systèmes asservis

Chapitre 0

Rappel sur les systèmes asservis

Notion de système et d’asservissement :

Notion de système :

Un système et l’ensemble de l’installation qu’on doit piloter.

Un système physique quelconque (électronique, électromécanique, pneumatique…) produit une sortie s(t) lorsque il est excité par une entrée e(t).

Transformation de Laplace

Pour faciliter l’étude du comportement des systèmes linéaires, on utilise généralement la transformée de Laplace qui transforme une fonction continue du temps (en fonction du temps) en une fonction d’une variable complexe p (notée dans quelques ouvrages ‘’s’’) faisant intervenir la fréquence ω.

Définition

Soit f (t) une fonction réelle du temps définie pour t ≥0, alors la transformée de la place de f(t) notée F (p) ou L (f (t)) est définie comme suit :

L(f(t)=F(p)=∫_0^∞▒〖f(t) e^(-pt) dt〗 avec p=σ+jω et j^2=-1

Après la résolution du problème dans le domaine complexe, on peut exprimer la solution dans le domaine temporel à l’aide de la transformée inverse de Laplace.

Dans la pratique, pour calculer la transformée ou la transformée inverse de Laplace on utilise le tableau de transformée de la place.

Propriétés

Linéarité:

Dérivation:

-Dérivation d’ordre 1 :

Avec

-Dérivation d’ordre 2:

-Dérivation d’ordre n :

Si les conditions initiales sont nulles:

Intégration:

En général pour une intégration d'ordre n, nous obtenons:

Translation temporelle:

Translation complexe:

Changement d’échelle temporelle

Théorème de la valeur initiale:

Théorème de la valeur finale:

Le tableau ci-dessous donne les transformées de Laplace couramment utilisées en automatique :

F(p) f(t) pour t>0

1 Impulsion unitaire: δ(t)

Echelon unitaire d’amplitude 1

Echelon d’amplitude A

Rampe unité : t

avec

avec et les racines de l'équation caractéristique

avec

Résolution d’équations différentielles des systèmes linéaires:

Le comportement dynamique d’un système est décrit par une équation différentielle de la forme suivante :

a_0 u(t)+a_1 du(t)/dt+a_2 (d^2 u(t))/〖dt〗^2 +..+a_m (d^m u(t))/〖dt〗^m b_0 y(t)+b_1 dy(t)/dt+b_2 (d^2 y(t))/〖dt〗^2 +..+b_n (d^n y(t))/〖dt〗^n

Un système linéaire est décrit par une équation différentielle à coefficients constants. C’est-à-dire a_i et b_i , i=0…,m,n sont constants.

On suppose que le système parte de 0 (du repos), c'est-à-dire pour t < 0, l’entrée, la sortie et leurs dérivées sont nulles, c’est-à-dire les conditions initiales sont nulles.

Alors à l’instant t = 0, on a :

u(t=0)=du(t)/dt (t=0)=⋯(d^m u(t))/〖dt〗^m (t=0)=0

y(t=0)=dy(t)/dt (t=0)=⋯(d^m y(t))/〖dt〗^m (t=0)=0

On applique la transformation de Laplace, on obtient :

b_n p^n Y(p)+⋯+b_1 pY(p)+b_0 Y(p)=a_m p^m U(p)+⋯+a_1 pU(p)+a_0 U(p)

En mettant U(p) et Y(p) en facteur, on obtient :

Y(p)(b_n p^n+⋯+b_1 p+b_0 )=U(p)(a_m p^m+⋯+a_1 p+a_0 )

d’où on déduit la sortie en fonction de l’entrée :

Y(p)=(a_m p^m+⋯+a_1 p+a_0)/(b_n p^n+⋯+b_1 p+b_0 ) U(p)

Y(p)=G(p)U(p)

Avec

H(p)=(Y(p))/(U(p))=(a_m p^m+⋯+a_1 p+a_0)/(b_n p^n+⋯+b_1 p+b_0 )

La fonction H(p) s’appelle la fonction de transfert du système, elle transforme l’entrée u(t) en une sortie y(t).

Les différentes réponses d’un système

Réponse impulsionnelle

L’entrée est une impulsion unité qui correspond à la dérivée de l'échelon unitaire. On l'appelle aussi impulsion de Dirac. On la note généralement (t). Sa transformée de Laplace est :

L[δ(t) ]=1

Réponse indicielle :

L’entrée est un échelon qui correspond à un changement brusque de consigne. Elle est définie par :

f(t)=a ∀t>0 et f(t)=0 ∀t≤0

Sa transformée de Laplace est :

F(p)=a/p

On appelle échelon unitaire pour a=1.

Sa transformée de Laplace est :

F(p)=1/p

On rencontre également l'échelon retardé définit par :

g(t)=u(t-τ)

Réponse à une rampe

La rampe de pente a est la primitive de l'échelon de hauteur a. Elle est définie par :

f(t)=at ∀t>0 et f(t)=0 ∀t≤0

Sa transformée de Laplace est définie par

F(p)=a/p^2

On peut définir également la rampe unitaire pour a=1. Sa transformée de Laplace est :

F(p)=1/p^2