Exercice De Dénombrement

ttres répétées ? Quelle est la probabilité qu'un mot de 4 lettres n'aie pas de lettres répétées ?

Exercice 9 Quel est le nombre de triangles (éventuellement aplatis) que l'on peut former avec 10 points distincts ?

Exercice 10 Combien de mots de 6 lettres peut-on écrire en utilisant 3 lettres D et 3 lettres H ? Application : combien y a t'il de trajectoires qui vont de A vers B en suivant le quadrillage :

B (on autorise que deux directions : vers le haut et vers la droite)

A

Exercice 11 En hiver une compagnie aérienne dessert 6 villes. Quel est le nombre de lignes en service ? En été, la compagnie a 45 lignes en service. Quel est le nombre de villes desservies ?

Exercice 12 Au loto, quelle est la probabilité d'avoir k numéros (pour k = 3 ; 4 ; 5 et 6) à un tirage donné ? [on dénombrera le nombre de grilles qui ont k numéros gagnants] Exercice 13 1. Combien de mots de 5 lettres peut-on faire avec les 26 lettres de l'alphabet ? 2. Combien de ces mots ne comportent que des lettres distinctes ? 3. Combien de ces mots comportent exactement 4 lettres distinctes (et donc une lettre répétée) ? Exercice 14 1. Démontrer que (a + b)3 + (a − b)3 = 2a(a2 + 3b2). 2. En déduire une simplification de l'expression : ƒ(x) = Exercice 15

x + 1 + x2

3

+ x − 1 + x2

(a + b)26 = a26 + 26a25b + ? a24b2 + ... Préciser le coefficient du terme a24b2 dans le développement de (a + b)26.

Exercice 16

Soit P une fonction polynôme à coefficients complexes de degré n ∈ * admettant une seule racine x0. a Démontrer que x0 = − n−1 où an désigne le coefficient de x n dans P et an−1 celui de x n −1 . nan

Exercices sur le dénombrement page 2

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G. COSTANTINI

Exercice 17

Dans un jeu de 32 cartes, on choisit 5 cartes au hasard (ces 5 cartes s'appellent une "main"). 1. Quel est le nombre total de mains que l'on peut obtenir ? 2. Combien de mains contiennent exactement 4 as ? 3. Combien de mains contiennent exactement 3 as et 2 rois ? 4. Combien de mains contiennent au moins 3 rois ? 5. Combien de mains contiennent au moins un as ?

Exercice 18

Une urne contient 49 boules numérotées de 1 à 49. On tire successivement 6 boules, sans remise. On appelle "tirage" cet ensemble de 6 numéros obtenus (sans tenir compte de l'ordre). 1. Combien y a-t-il de tirages au total ? 2. Combien y a-t-il de tirages qui contiennent 3 numéros pairs et 3 numéros impairs ? 3. Combien y a-t-il de tirages qui contiennent au moins 5 numéros pairs ? (C'est-à-dire 5 numéros pairs ou 6 numéros pairs)

Exercice 19

Dans une classe, on souhaite élire un comité. (Un comité est un petit groupe d'élèves auquel on confiera une mission particulière). On suppose que chaque élève de la classe peut-être élu. 1. Combien de comités de 3 personnes peut-on élire dans une classe de 31 élèves ? 2. Dans une classe de n élèves, il y a 351 façons d'élire un comité de 2 personnes. Quel est le nombre n d'élèves de cette classe ?

Exercice 20

1. Écrire le développement de (a + b)5. 2. Écrire le développement