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Courbes

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d’un cercle du plan : e e Exemple.

x  a R cos t y  b R sin t

x  a αt y  b βt

• Repr´sentation param´trique rationnelle du cercle trigonom´trique e e e

, priv´ de Ap¡1, 0q : e

5

x y

1 t2 1 t2 2t 1 t2

¡

sin θ =

2t 1+t2

Ø

tan θ 2

cos θ =

1−t2 1+t2

2.2

Points r´guliers e

D´finition. Un point M0 pt0 q d’une courbe param´tr´e par f est dit r´gulier si et seulement si f I pt0 q e e e e I pt0 q et yI pt0 q ne s’annulent pas simultan´ment. c’est-`-dire si x a e Il est dit singulier ou stationnaire sinon. Propri´t´. e e vecteur de coordonn´es e

x1 pt0 q¨

y 1 t0

$ 0,

La tangente ` la courbe en un point r´gulier est dirig´e par le vecteur f I pt0 q, c’est-`-dire le a e e a

x  t2 1 . y  t3 t 1 Montrer que cette courbe est r´guli`re en tous ses points, et d´terminer les coordonn´es du point de param`tre e e e e e 1, ainsi que la tangente en ce point. Exemple. Soit la courbe param´tr´e par : e e

p q.

5

2.3

Branches infinies

D´finition. Soit Γ une courbe param´tr´e par f d´finie sur I, de fonctions coordonn´es px, y q. Soit t0 un e e e e e ´l´ment de I, ou une borne de I (peut-ˆtre ¨V). On dit que Γ pr´sente une branche infinie lorsque t Ñ t0 ee e e si et seulement si }f ptq} Ý Ñ V. ÝÝ

t

Ñt0

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Chap 7 – Courbes param´tr´es e e Remarque. D´finition. En une branche infinie, on dit que Γ pr´sente une direction asymptotique si et seulement si la e Ý pÑ admet une limite, c’est-`-dire e yptq une limite. ÝÝÝ direction de OM tq a si xptq Remarque. R`gle d’´tude (si seule l’une des coordonn´es tend vers l’infini). e e e

• Si

p q ÝÑtÑ ¨V ÝÝ t 7y ptq Ý Ñ b € R ÝÝ tÑt 6 8xptq Ý Ñ a € R ÝÝ tÑt Si 7y ptq Ý Ñ ¨V ÝÝ tÑt

0 0 0 0

6 8x t

, alors Γ admet pour asymptote la droite horizontale d’´quation y e

 b.

, alors Γ admet pour asymptote la droite verticale d’´quation x  a. e

Dans ce cas, la comparaison de y ptq par rapport ` b (resp. de xptq par rapport ` a) au voisinage de t0 donne a a la position de la courbe par rapport ` son asymptote. a R`gle d’´tude (si les deux coordonn´es tendent vers l’infini). e e e

t → t0

Si

y t x t

tion asymptotique verticale.

p q Ý Ñ ¨V, alors Γ pr´sente une branche parabolique de direce p q tÝÝ0 Ñt

Γ

O

R`gle d’´tude (si les deux coordonn´es tendent vers l’infini). e e e

t → t0

Si

y t x t

asymptotique horizontale.

p q Ý Ñ 0, alors Γ pr´sente une branche parabolique de direction e p q tÝÝ0 Ñt

Γ

O

R`gle d’´tude (si les deux coordonn´es tendent vers l’infini). e e e

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Chap 7 – Courbes param´tr´es e e

y = ax

ÝÑtÑ a € R¦ ÝÝ t Si 7y ptq ¡ axptq Ý Ñ ¨V ÝÝ tÑt

0 0

6 y 8 xptq ptq

t → t0

alors Γ admet une branche parabolique

de direction asymptotique d’´quation y e

 ax.

Γ

O

R`gle d’´tude (si les deux coordonn´es tendent vers l’infini). e e e

y = ax + b t → t0

ÝÑtÑ a € R¦ ÝÝ t Si 7y ptq ¡ axptq Ý Ñ b € R ÝÝ tÑt tion y  ax b.

0 0

6 y 8 xptq ptq

alors Γ admet une asymptote d’´quae

Γ

O

Remarque.

y = ax + b M(t)

Dans ce dernier cas, la position de la courbe par rapport a ` son asymptote est donn´e par le signe de y ptq¡paxptq e bq.

y(t)

ax(t) + b

P(t)

O

x(t)

2.4

Compl´ments e

R´sultat. En un point singulier, la tangente est dirig´e par le premier vecteur d´riv´ non nul. e e e e Remarque. On peut ´tudier plus pr´cis´ment les points singuliers en interpr´tant le DL de xptq et y ptq. e e e e Voir exercices. R´sultat. En un point d’inflexion, detpf I ptq, f P ptqq s’annule. e

3

3.1

´ Etude globale

Plan d’´tude d’une courbe param´tr´e e e e

Soit Γ une courbe param´tr´e par f : I e e

Ñ R2 dont on note x et y les fonctions coordonn´es. e

(a) R´duction de l’ensemble d’´tude par observation des sym´tries, p´riodicit´s etc, avec figures. e e e e e (b) On ´tudie les variations de x et de y dans le mˆme tableau, et l’on d´termine les points singuliers (i.e. e e e I ptq  yI ptq  0). tels que x 4/7

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Chap 7 – Courbes param´tr´es e e (c) On ´tudie l’allure de la courbe au voisinage des points singuliers. e (d) On ´tudie les branches infinies. e (e) On peut ´tudier des points remarquables ´ventuels (intersection avec les axes, points ` tangente parall`le e e a e aux axes, points d’inflexion. . . ) (f) On peut rechercher d’´ventuels points multiples, c’est-`-dire M e a

ÝÑ Ý telles que OM  f puq  f pv q.

x ¨

1

y1

tel qu’il existe u, v deux valeurs de t

(g) On place les ´l´ments remarquables. On joint ensuite ceux-ci en respectant les variations de x et de y. ee

3.2

Exemples

Exemple 1.

5

xptq  sin 2t y ptq  sin 3t xptq  y pt q 

t 1 t3 t2 1 t3

Exemple 2.

5

4

4.1

Compl´ments e

Utilisation de Maple

On utilise la syntaxe :

> plot( [exp1, exp2, t = t1..t2] ); ¦

xptq  exp1 . y ptq

...

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