Courbes
Commentaires Composés : Courbes. Rechercher de 53 000+ Dissertation Gratuites et Mémoiresd’un cercle du plan : e e Exemple.
x a R cos t y b R sin t
x a αt y b βt
• Repr´sentation param´trique rationnelle du cercle trigonom´trique e e e
, priv´ de Ap¡1, 0q : e
5
x y
1 t2 1 t2 2t 1 t2
¡
sin θ =
2t 1+t2
Ø
tan θ 2
cos θ =
1−t2 1+t2
2.2
Points r´guliers e
D´finition. Un point M0 pt0 q d’une courbe param´tr´e par f est dit r´gulier si et seulement si f I pt0 q e e e e I pt0 q et yI pt0 q ne s’annulent pas simultan´ment. c’est-`-dire si x a e Il est dit singulier ou stationnaire sinon. Propri´t´. e e vecteur de coordonn´es e
x1 pt0 q¨
y 1 t0
$ 0,
La tangente ` la courbe en un point r´gulier est dirig´e par le vecteur f I pt0 q, c’est-`-dire le a e e a
x t2 1 . y t3 t 1 Montrer que cette courbe est r´guli`re en tous ses points, et d´terminer les coordonn´es du point de param`tre e e e e e 1, ainsi que la tangente en ce point. Exemple. Soit la courbe param´tr´e par : e e
p q.
5
2.3
Branches infinies
D´finition. Soit Γ une courbe param´tr´e par f d´finie sur I, de fonctions coordonn´es px, y q. Soit t0 un e e e e e ´l´ment de I, ou une borne de I (peut-ˆtre ¨V). On dit que Γ pr´sente une branche infinie lorsque t Ñ t0 ee e e si et seulement si }f ptq} Ý Ñ V. ÝÝ
t
Ñt0
Ce logo signale un lien vers une animation geogebra disponible sur le site mpsi1.lamartin.fr/geogebra
2/7
http://mpsi1.lamartin.fr
2010-2011
Chap 7 – Courbes param´tr´es e e Remarque. D´finition. En une branche infinie, on dit que Γ pr´sente une direction asymptotique si et seulement si la e Ý pÑ admet une limite, c’est-`-dire e yptq une limite. ÝÝÝ direction de OM tq a si xptq Remarque. R`gle d’´tude (si seule l’une des coordonn´es tend vers l’infini). e e e
• Si
•
p q ÝÑtÑ ¨V ÝÝ t 7y ptq Ý Ñ b R ÝÝ tÑt 6 8xptq Ý Ñ a R ÝÝ tÑt Si 7y ptq Ý Ñ ¨V ÝÝ tÑt
0 0 0 0
6 8x t
, alors Γ admet pour asymptote la droite horizontale d’´quation y e
b.
, alors Γ admet pour asymptote la droite verticale d’´quation x a. e
Dans ce cas, la comparaison de y ptq par rapport ` b (resp. de xptq par rapport ` a) au voisinage de t0 donne a a la position de la courbe par rapport ` son asymptote. a R`gle d’´tude (si les deux coordonn´es tendent vers l’infini). e e e
t → t0
Si
y t x t
tion asymptotique verticale.
p q Ý Ñ ¨V, alors Γ pr´sente une branche parabolique de direce p q tÝÝ0 Ñt
Γ
O
R`gle d’´tude (si les deux coordonn´es tendent vers l’infini). e e e
t → t0
Si
y t x t
asymptotique horizontale.
p q Ý Ñ 0, alors Γ pr´sente une branche parabolique de direction e p q tÝÝ0 Ñt
Γ
O
R`gle d’´tude (si les deux coordonn´es tendent vers l’infini). e e e
2010-2011 http://mpsi1.lamartin.fr
3/7
Chap 7 – Courbes param´tr´es e e
y = ax
ÝÑtÑ a R¦ ÝÝ t Si 7y ptq ¡ axptq Ý Ñ ¨V ÝÝ tÑt
0 0
6 y 8 xptq ptq
t → t0
alors Γ admet une branche parabolique
de direction asymptotique d’´quation y e
ax.
Γ
O
R`gle d’´tude (si les deux coordonn´es tendent vers l’infini). e e e
y = ax + b t → t0
ÝÑtÑ a R¦ ÝÝ t Si 7y ptq ¡ axptq Ý Ñ b R ÝÝ tÑt tion y ax b.
0 0
6 y 8 xptq ptq
alors Γ admet une asymptote d’´quae
Γ
O
Remarque.
y = ax + b M(t)
Dans ce dernier cas, la position de la courbe par rapport a ` son asymptote est donn´e par le signe de y ptq¡paxptq e bq.
y(t)
ax(t) + b
P(t)
O
x(t)
2.4
Compl´ments e
R´sultat. En un point singulier, la tangente est dirig´e par le premier vecteur d´riv´ non nul. e e e e Remarque. On peut ´tudier plus pr´cis´ment les points singuliers en interpr´tant le DL de xptq et y ptq. e e e e Voir exercices. R´sultat. En un point d’inflexion, detpf I ptq, f P ptqq s’annule. e
3
3.1
´ Etude globale
Plan d’´tude d’une courbe param´tr´e e e e
Soit Γ une courbe param´tr´e par f : I e e
Ñ R2 dont on note x et y les fonctions coordonn´es. e
(a) R´duction de l’ensemble d’´tude par observation des sym´tries, p´riodicit´s etc, avec figures. e e e e e (b) On ´tudie les variations de x et de y dans le mˆme tableau, et l’on d´termine les points singuliers (i.e. e e e I ptq yI ptq 0). tels que x 4/7
http://mpsi1.lamartin.fr 2010-2011
Chap 7 – Courbes param´tr´es e e (c) On ´tudie l’allure de la courbe au voisinage des points singuliers. e (d) On ´tudie les branches infinies. e (e) On peut ´tudier des points remarquables ´ventuels (intersection avec les axes, points ` tangente parall`le e e a e aux axes, points d’inflexion. . . ) (f) On peut rechercher d’´ventuels points multiples, c’est-`-dire M e a
ÝÑ Ý telles que OM f puq f pv q.
x ¨
1
y1
tel qu’il existe u, v deux valeurs de t
(g) On place les ´l´ments remarquables. On joint ensuite ceux-ci en respectant les variations de x et de y. ee
3.2
Exemples
Exemple 1.
5
xptq sin 2t y ptq sin 3t xptq y pt q
t 1 t3 t2 1 t3
Exemple 2.
5
4
4.1
Compl´ments e
Utilisation de Maple
On utilise la syntaxe :
> plot( [exp1, exp2, t = t1..t2] ); ¦
xptq exp1 . y ptq
...