Good

¥. 2 ¦(x) = x2 + x + 1 - x

Exercice 8 Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus sur  Démontrer que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur  et préciser leur fonction dérivée. On rappelle que :

lim

h®0

cos(h) - 1 sin(h) = 0 et lim =1 h®0 h h

Exercice 9 Une bijection de  sur ]-1 ; 1[ Soit ¦ la fonction définie sur  par : 1. Démontrer que ¦ est bornée sur . 2. Étudier la parité de ¦. 3. Étudier la dérivabilité de ¦ en 0. 4. Démontrer que ¦ définit une bijection de  sur ]-1 ; 1[. ¦(x) = x 1+ x

Exercice 10 On ne peut être dépassé par plus lent que soit. Soient ¦ et g deux fonctions dérivables sur l'intervalle I = [0 ; 1] telles que : ¦(0) = g(0) et ¦' g' sur I. Démontrer que ¦  g sur I. (On pourra étudier les variations de g - ¦)

Exercice 11 Utilisation de l'accroissement moyen pour déterminer une limite 1. On se propose d'étudier la limite en p de la fonction ¦ définie par : 2 cos( x ) p pour x ¹ . ¦(x) = p 2 x2 Vérifier que l'on est en présence d'une forme indéterminée. En considérant l'accroissement moyen de la fonction cosinus en p , déterminer la limite ci-dessus. 2

2. Par une méthode analogue, étudier les limites de ¦ en a dans les cas suivants : ¦(x) = ¦(x) = 1+ x -1 en a = 0 x tan( x ) - 1 p en a = p 4 x4

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Exercice 12 Deux fonctions continues qui commutent sur un segment ont un point fixe commun Soient ¦ et g deux fonctions continues sur le segment I = [0, 1] telles que g o ¦ = ¦ o g. Le but de l'exercice est de démontrer qu'alors, il existe un réel l de [0, 1] tel que ¦(l) = g(l). 1. Question préliminaire Soit j la fonction définie sur [0, 1] par j(x) = ¦(x) - x. Démontrer qu'il existe un réel a Î [0, 1] tel que : j(a) = 0 On a donc ¦(a) = a. On dit que a est un point fixe de ¦. Dans la suite du problème (questions 2, 3 et 4), on suppose qu'il n'existe pas de réel l dans [0, 1] tel que ¦(l) = g(l) et on déduit une contradiction. (Il s'agit d'un raisonnement par l'absurde). 2. On note h la fonction définie sur I par h = ¦ - g. Démontrer que h est de signe constant.

3. Soit (un) la suite définie par : ìu0 = a í îun +1 = g (un ) a. Démontrer la suite (un) est bornée. b. Démontrer que pour tout n Î , un est un point fixe de ¦. (C'est à dire : ¦(un) = un) c. En déduire que la suite (un) est monotone. d. En déduire que la suite (un) converge vers un réel l Î [0, 1]. (On ne cherchera pas à calculer l)

4. Dans cette question, nous allons en déduire une contradiction a. Démontrer que ¦(l) = l b. Démontrer que g(l) = l c. En déduire une contradiction.

5. Conclure.

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EXERCICES RÉDIGÉS SUR LA CONTINUITÉ ET LA DÉRIVABILITÉ : SOLUTIONS Exercice 1 Quelques résultats théoriques - Règles opératoires sur les fonctions dérivables ¦(a + h) - ¦ (a) g (a + h) - g (a) et admettent des limites lorsque h h h tend vers 0. On note ¦'(a) et g'(a) ces limites respectives. Par hypothèse, les accroissements moyens 1. On a : ( ¦ + g )(a + h) - ( ¦ + g )(a) ¦(a + h) - ¦ (a) g (a + h) - g (a) = + h h h Donc ( ¦ + g )(a + h) - ( ¦ + g )(a) admet une limite égale à ¦'(a) + g'(a) lorsque h tend vers 0. h

Ce qui prouve que ¦ + g est dérivable en a (et de plus, (¦ + g)'(a) = ¦'(a) + g'(a)). 2. On a : (¦ g )(a + h) - ( ¦ g )(a) ¦ ( a + h ) g ( a + h ) + ¦ ( a ) g (a ) = h h = = Donc [¦(a + h) - ¦ (a)]g (a + h) + ¦ (a)[ g (a + h) - g (a)] h ¦(a + h) - ¦ (a) g (a + h) - g (a) g(a) + ¦(a) h h

(¦ g )(a + h) - ( ¦ g )(a) admet une limite égale à ¦'(a)g(a) + ¦(a)g'(a) lorsque h tend vers 0. h

Ce qui prouve que ¦g est dérivable en a (et de plus, (¦g)'(a) = (¦'g + ¦g')(a)). 3. Soit V un voisinage de a sur lequel g est non nulle. Pour h Î V, on a : 1 1 1 g (a + h) g (a) g (a + h) - g (a) = ´ g (a) g (a + h) h h Or, g est continue en a puisque dérivable en a, donc lim g(a + h) = g(a).

h®0

1 1 g ¢(a) g (a + h) g (a) Donc admet une limite égale à lorsque h tend vers 0. h [ g (a)]2 Ce qui prouve 1 g ¢(a) æ 1 ö¢ est dérivable en a (et de plus, ç ÷ (a) = ) g [ g (a)]2 ègø

Exercice 2 Dérivation d'une composition de fonctions dérivables Soit x0 Î I. On écrit : (v o u )( x) - (v o u )( x0 ) v (u( x )) - v (u( x0 )) u( x ) - u ( x0 ) = ´ x - x0 u ( x ) - u ( x0 ) x - x0 Posons y0 = u(x0) et y = u(x) : (v o u )( x) - (v o u )( x0 ) v ( y ) - v ( y0 ) u( x ) - u ( x0 ) = ´ x - x0 y - y0 x - x0

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Or, v étant dérivable en y0, on a :

y ® y0

lim

v ( y ) - v ( y0 ) = v'(y0) y - y0

Et u étant dérivable en x0, on a :

x ® x0

lim

u( x ) - u ( x0 ) = u'(x0) x - x0

D'où : C'est-à-dire :

x ® x0

lim

(v o u )( x) - (v o u )( x0 ) = u'(x0) ´ v'(y0) = u'(x0) ´ v'(u(x0)) x - x0 (v o u)'(x0) = u'(x0) ´ v'(u(x0)) (v o u)'(x) = u'(x) v'(u(x))

Ceci étant valable pour tout x0 Î I, on en déduit la dérivabilité de v o u sur I et

Exercice 3 Un exemple de fonction dérivable à dérivée non continue 1. Nous avons, pour tout réel x ¹ 0 : æ1ö sin ç ÷  1 è xø æ1ö x 2 sin ç ÷  x 2 è xø

Donc :

D'après le théorème de comparaison des limites (en 0), on en déduit :

x ®0

lim |¦(x)| = 0 (puisque lim x 2 = 0)

x ®0 x ®0

Donc : Donc ¦ est continue en 0. 2. Montrons que ¦ est dérivable en 0 : Pour tout réel x ¹ 0, nous avons :

lim ¦(x) = 0 = ¦(0)

¦( x ) - ¦(0) æ1ö = x sin ç ÷ x-0 è xø æ1ö lim x sin ç ÷ = 0 x ®0 è xø

Or :

æ1ö (Même type de preuve que ci-dessus. On écrit : x sin ç ÷  |x|) è xø Donc :

x ®0

lim

¦( x ) - ¦(0) =0 x-0

Ce qui signifie que ¦ est dérivable en 0 avec ¦'(0) = 0. 3. Montrons que ¦' n'est pas continue en 0. En effet, pour tout x ¹ 0, on a : æ 1ö æ1ö æ1ö æ1ö æ1ö ¦' (x) = 2x sin ç ÷ + x 2 ´ ç - 2 ÷ cos ç ÷ = 2x sin ç ÷ - cos ç ÷ è x ø è xø è xø è xø è xø æ1ö æ1ö Nous savons que lim 2x sin ç ÷ = 0, mais la quantité cos ç ÷ n'a pas de limite en 0. (Voir leçon sur la continuité) x ®0 è xø è xø Donc ¦' n'a pas de limite en 0, ce qui signifie qu'elle n'est pas continue en 0.

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Exercice 4 Un petit théorème de point fixe

y 1 C¦

c g(x)

O

c

1

x

Considérons la fonction g définie par :

g(x) = ¦(x) - x g(0) = ¦(0)  0 g(1) = ¦(1) - 1  0

L'équation ¦(x) = x est ainsi équivalente à g(x) = 0.

Cette fonction g est continue sur [0 ; 1] (différence de fonctions continues) et

Le réel l = 0 est bien intermédiaire entre g(0) et g(1), donc d'après le théorème du même nom, il existe un réel c Î [0 ; 1] tel que g(c) = 0, c'est-à-dire : ¦(c) = c Donc ¦ admet (au moins) un point fixe dans [0 ; 1].

Exercice 5 Où l'on applique le théorème de bijection à la dérivée Définissons la fonction ¦, pour x Î , par : ¦(x) = x 4 + x 3 - x + 1 La fonction étant polynomiale, elle est indéfiniment dérivable et on a :

On dérive deux