Interets Simples

ours ou toutes autres unités de temps

- t le taux d’intérêt exprimé en pourcentages %

On obtient ainsi l’équation :

Si la durée est exprimée en années

Si la durée est exprimée en mois

Ou encore

Remarque

Nous nommerons: - année commerciale l’année à 360 jours.

- année civile l’année à 365 jours.

Dans la suite du cours nous utiliserons essentiellement l’année commerciale, année généralement utilisée dans les calculs en comptabilité et en finance.

Exemple 1

Un créancier prête une somme de 100 000€ pendant 3 ans au taux annuel de 8%.

L’intérêt produit par cette opération sera :

Le débiteurs devra donc remettre un capital de 100 000 + 24 000 = 124 000€ après un délai d’expiration de 3 ans .

Nous remarquons dans cet exemple que l’on doit préciser la nature du taux en l’occurrence ici annuel.

Attention !

Nous aurions très bien pu avoir un taux exprimé par rapport à des mois ou à des jours…

Exemple 2

Un placement de 35 000€ est placé pendant 7 mois au taux annuel de 6%.

L’intérêt produit lors de cette opération est de :

Nous remarquons dans cet exemple que bien que la durée soit exprimée en mois le taux était annuel. La raison d’être de la formule de l’intérêt par la division par 12 vient de ce que l’on convertit l’année ou encore le taux en mois.

Exemple 3

Un créancier A consent à octroyer un prêt de 15 000€ à un débiteur B au taux annuel de 8,5% pour la période s’étalant du 21 avril au 6 décembre de l’année 2009. Calculer l’intérêt produit lors de cette opération.

La période étant exprimée en jours et le taux en fonction des années il convient de convertir le taux annuel en taux journalier.

Pour ce faire nous utiliserons donc la formule

D’autre part il nous reste à compter le nombre de jours situés entre le 21 avril et le 6 décembre.

- Du 21 au 30 avril il y a 30-21= 29 jours

-Au mois de mai il y a 31 jours

-Au mois de juin il y a 30 jours

-Au mois de juillet il y a 31 jours

-Au mois d’août il y a 31 jours

-Au mois de septembre il y a 30 jours

-Au mois d’octobre il y a 31 jours

-Au mois de novembre il y a 30 jours

-Enfin au mois de décembre on dénombre 6 jours

Le total est donc de 249 jours

L’intérêt que devra donc rembourser B à A s’élève à :

Il est évident qu’en modulant la formule nous pouvons isoler le capital, la durée ou encore le taux en fonction de l’intérêt.

Si par exemple nous souhaitons isoler le taux nous obtenons :

soit :

lorsque la durée est exprimée en année.

b. Définition graphique

Nous venons de le voir l’intérêt est directement proportionnel au Capital, à la durée et au taux. Sa représentation graphique est donc donnée par une fonction affine.

Si l’on décide de représenter l’évolution de l’intérêt en fonction du temps, nous obtenons une fonction affine ayant pour origine 0. A l’instant 0 le capital n’a produit aucun intérêt.

- Par exemple si nous plaçons 10 000 € au taux annuel de 5%, nous obtenons la représentation graphique de l’évolution de l’intérêt avec les années par le graphique suivant :

Avec la fonction :

-Durée définie suivant l’axe des abscisses en années

-Intérêt défini suivant l’axe des ordonnées en €.

Remarque

Nous remarquons qu’en ajoutant le même intérêt obtenu la première année, d’année en année nous obtenons le même graphique.

II Valeur Acquise

a. Définition algébrique

La valeur acquise est la valeur qu’un certain capital acquiert au bout d’une période donnée. En d’autres termes il s’agit du cumul des valeurs de ce capital et des intérêts qu’il a produit. Nous le noterons dans la suite de ce cours.

Exemple

Un créancier effectue le placement d’une somme de 80 000€ au taux annuel de 6,5%.

Quel sera le capital acquis au bout de 5 ans.

Dans cet exercice plusieurs expressions de la formule du capital acquis sont utilisables. Par exemple

b. Définition graphique

Nous remarquons que le capital acquis est la somme d’une constante le capital, qui pour l’instant n’évoluera pas, et d’une fonction affine. Le capital acquis est donc représentable par une fonction affine.

La seule différence entre la représentation graphique des intérêts et celle du capital acquis est que la fonction de ce dernier n’a pas une valeur nulle à l’instant 0. Il est évident qu’un capital nul ne peut fournir des intérêts et à fortiori de constituer un capital acquis.

Par exemple un capital de 100 000€ est placé au taux annuel de 7%.

La fonction définissant le capital acquis est :

-Durée en abscisse

-Capital acquis en ordonnée

L’ordonnée à l’origine est donc de 100000.

III Taux moyen

Comme nous venons de le voir un créancier prêtant une somme à un débiteur jouit d’un intérêt perçu sur la somme qu’il a prêté.

Ce créancier peut en l’occurrence effectuer plusieurs placement. Il peut prêter plusieurs capitaux à plusieurs personnes différentes. A chacun de ces prêt il peut proposer des taux différents.

Il est possible de calculer un taux moyen représentant la moyenne des taux individuels pour chaque capital prêté.

Soit C les capitaux, durée et taux donnés pour un placement effectif.

On peut donc effectuer k placements. On obtient ainsi :

Le capital 1 investi pour la durée 1 au taux 1,

Le capital 2 investi pour la durée 2 au taux 2,

…..

Le capital k investi pour la durée k au taux k.

La somme des intérêts produit est ainsi :

Nous pouvons imaginer à partir de cette formule, l’existence d’un taux commun à l’ensemble de ces placements. Nous nommerons ce taux T qui sera appelé taux moyen.

Nous obtenons ainsi l’équation :

Ainsi pour respecter la valeur numérique des placements précédents nous obtenons :

d’où,

T=

Nous remarquons l’élimination des dénominateurs de l’équation originelle. Le taux moyen ne dépend donc pas de la