La théorie des jeux - Grand oral de mathématiques

En quoi la théorie des jeux nous permet de connaître les gains et pertes d’un agent?

Aujourd’hui nous allons parler de la façon de connaître les gains et les pertes d’un joueur grâce à la théorie des jeux. Pour commencer la théorie des jeux consiste à étudier des situations, ici des jeux, où des individus, ici deux joueurs, prennent des décisions en sachant que le résultat de son propre choix dépend du choix de l’autre joueur, les gains d’un joueur dépend donc des choix de l’autre joueur.

Nous allons prendre comme exemple de jeux le jeu « pierre feuille ciseaux ». Pour rappeler les règles, la pierre gagne sur le ciseau, le ciseau sur la feuille et la feuille sur la pierre.

Dans un premier temps, imaginons que nous jouons une partie de ce jeu, vous êtes le joueur 1 et moi le joueur 2.

Vous avez 3 possibilités à chaque partie, soit pierre soit feuille soit ciseaux. Quant à moi j’ai aussi ces 3 possibilités. Nous avons donc une chance sur 3 de gagner, de perdre ou de faire match nul à chaque partie.

Le jeu basique du pierre feuille ciseau est un jeu à somme nulle, cela veut dire que l’espérance de la fonction est tout le temps égale à 0, c'est-à-dire qu’il y a les mêmes chances de perdres ou de gagner pour les deux joueurs.

Imaginons dans un deuxième temps que nous “pimentons” le jeu avec un puit. Nous nous retrouvons donc avec un jeu à 4 issues, les règles sont les mêmes qu’avec le jeu basique, seulement le puit gagne sur tout sauf la feuille, nous nous retrouvons donc soit avec deux pertes soit avec deux gains, cela dépendra de ce que nous allons décider de jouer.

A partir de là nous pouvons émettre une stratégie, imaginons que le joueur 1, donc vous, décidiez de ne jouer que puit. Il y aura pour le joueur 2, donc moi, les 4 possibilités c’est à dire 1 chance sur 4 de jouer pierre, papier, ciseaux ou puit. Avec un arbre de probabilité nous pouvons donc constater que vous aurez 2 chances de gagner (avec la pierre et les ciseaux), 1 chance de perdre (avec la feuille) et 1 chance de faire nul (si je joue aussi le puits). L’espérance de gagner avec cette stratégie serait de 0,25 soit 25% de chance de gagner.

Il y a la même stratégie si vous ne jouez que papier.

Maintenant nous allons voir le cas contraire, si vous optez pour ne jouer que pierre à chaque manche, nous pouvons voir que vous aurez 2 chances de perdres (avec le papier et le puit), une chance de faire nul (si je joue pierre aussi) et seulement 1 chance de gagner (si je joue les ciseaux). L’espérance de gagner sera de -0.25 soit -25%, vous aurez donc plus de chance de perdre. Nous pouvons observer exactement le même cas si vous ne jouez que ciseaux. La stratégie serait donc de jouer puit ou feuille.

Dans un troisième temps nous allons voir que nous pouvons modéliser et connaître nos gains et nos pertes grâce à la loi binomiale et le schéma de Bernoulli. En effet le jeu du pierre feuille ciseaux est une suite d’expérience aléatoire, identique et indépendante à deux issues, soit nous gagnons soit nous perdons. Ici on ne prend pas en compte une partie nulle, si