Le Nombre

même âge, un enfant est pourtant capable de dénombrer des petites quantités ;

Psychologie cognitive du développement - CMMme Pascale PLANCHE

-2 Stade 2 (4 ans ½ / 5 ans ½) : au début de ce stade, l’enfant est capable de construire une correspondance terme { terme mais il n’a pas encore la notion d’équivalence numérique durable des collections constituées (il continue { dire qu’il y a moins de jetons car la ligne est plus courte).  Pas de notion de conservation du nombre. A la fin de ce stade, c'est-à-dire vers 5 ans ½, l’enfant va spontanément se mettre { compter. Cependant, il continue à dire que les deux lignes de jetons sont différentes lorsqu’on rapproche les jetons. Il n’y a pas de notion de quantité. Des auteurs tels que GRECO ont appelé ce phénomène la conservation de la quotité. Elle précède la conservation de la quantité. GRECO : « Le nombre compté se conserve avant la quantité ». Cet auteur pense que le dénombrement précoce joue un rôle important dans la jeunesse du nombre. Stade 3 (vers 6 ans) : la correspondance terme { terme est assimilée et l’équivalence quantitative durable des collections constituées. L’enfant ne se laisse plus trompé par les pièges perceptifs.  Possession de la notion de conservation du nombre élémentaire. Dans la conception du développement de PIAGET, on se situe dans ce stade, un an avant l’entrée dans la période opératoire concrète. Ce stade 3 correspond donc au dégel de l’égocentrisme. La pensée figurative cède progressivement le pas à la pensée opérative. A 6 ans, dans certains contextes, l’enfant peut s’appuyer sur les opérations faites devant lui. PIAGET : « C’est donc par la formation d’un invariant dépassant les illusions perceptives que se mettent en place les conditions de possibilité du nombre au sens mathématique du terme. »



B. Place du dénombrement précoce dans la genèse du nombre élémentaire

PIAGET n’attribue pas beaucoup d’importance au dénombrement précoce dans la genèse du nombre. Il dit que c’est une connaissance verbale, comme une suite de mots. = Mécanisme linguistique. Il parle de « numération parlée ». Il considère ça comme des étiquettes numériques posées sur les objets. C’est une connaissance reçue, elle vient de l’extérieur et n’est donc pas construite par l’activité du sujet dans son environnement. Or ce qui est fondamental pour PIAGET est l’action sur le monde physique des objets. « La pensée nait de l’action. » « Le dénombrement n’a pas de signification opératoire. Savoir compter correctement, ce n’est nullement posséder les notions nécessaires à la constitution du nombre. » Des auteurs contemporains sont allés plus loin dans l’étude du dénombrement précoce et de son importance dans la genèse du nombre.

Psychologie cognitive du développement - CMMme Pascale PLANCHE

-3Rita GELMAN et ses collaborateurs considèrent, contrairement à PIAGET, que ce dénombrement précoce joue un rôle réel à la source de la construction du nombre. Ils ont analysé et mis en évidence 5 principes qui sous-tendent cette activité de dénombrement. 1. L’adéquation unique : mise en correspondance de chaque objet décompté avec une seule étiquette numérique. On peut observer cette étape chez les petits enfants au niveau des échanges : « Je te donne un objet contre un objet ». C’est également ce principe qui intervient quand un enfant compte sur ses doigts. 2. L’ordre stable : la suite des étiquettes numériques est fixe et immuable. 3. Le principe cardinal : la dernière étiquette numérique (dernier nombre formulé) énonce le cardinal de la collection c'est-à-dire la quantité d’éléments qu’il y a dans la collection. 4. « L’abstraction » : on ne tient pas compte de la nature des objets que l’on compte. L’homogénéité ou l’hétérogénéité des objets n’a pas d’incidence sur le dénombrement. 5. La non-pertinence de l’ordre des éléments dénombrés : l’endroit où l’on commence le dénombrement ne change pas le résultat.  Ces principes sont tous implicites, on ne les active pas consciemment. Les principes d’adéquation numérique et d’abstraction sont les plus précoces, ils sont présents dès l’âge de 2 ans ½. Le principe d’ordre stable apparait vers 3 ans. Le principe cardinal et celui de non-pertinence de l’ordre des éléments dénombrés apparaissent vers 4 ans ½. Le principe cardinal nécessite la fonction d’arrêt. Celle-ci est délicate à construire au cours d’activité cognitives. Le principe de non pertinence (…) quant à lui nécessite des notions spatiales qui ne se construisent que très progressivement. C’est pourquoi ces deux principes sont les plus tardifs { se mettre en place. Un des principes les plus primitifs est celui d’abstraction. Il sous-tend un principe numérique selon lequel les éléments d’un ensemble sont conçus comme équivalents quand on les dénombre. Selon PIAGET, le nombre correspond à une « synthèse des classes et des sériations ». Or le principe d’abstraction peut être relié { la notion de classes qui se développe vers 7 ans. Le principe cardinal et celui d’ordre stable fournissent { l’enfant la capacité de mettre en série les objets décomptés et de donner un terme à cette série. De ce fait, ces deux

Psychologie cognitive du développement - CMMme Pascale PLANCHE

-4principes contiennent les prémices de la notion de sériation qui apparait, comme la notion de classe, vers 7 ans. Le principe d’adéquation unique contient implicitement l’outil logico-mathématique fondamental qui est la correspondance terme à terme (acquise vers 5 ans). Il est également possible de faire un lien entre ce principe et l’apparition du langage (vers 2 ans ½). En effet, on peut définir le langage comme la correspondance entre un signifiant et un signifié. 12 mois : un mot + une intonation 18 – 24 mois : deux mots minimum = mise en place de la syntaxe 2 ans ½ : gestes de pointage : - pointage proto-impératif : pour désigner quelque chose qu’il veut ; - pointage proto-déclaratif : pour montrer quelque chose sur lequel il veut attirer l’attention Principe de l’attention conjoint objet 3 mère 2 GELMAN : « Au niveau prélogique, on constate des activités intuitives globales, automatiques, implicites activées par l’influence familiale et sociale mais qui contiennent à l’état embryonnaire les prémices des futurs outils logiques. » 1 enfant

II. Elaboration des notions de conservation des quantités discontinues non dénombrables et des quantités continues

A. Les quantités discontinues non dénombrables

Cette notion est acquise vers 6 ans ½. L’épreuve piagétienne classique qui permet d’évaluer sa mise en place chez l’enfant est l’épreuve des perles (2).  Stade 1 (vers 5 ans ½) : l’épreuve des perles n’est pas réussie. On remarque une incapacité des enfants à répondre correctement quand on fait les transformations. Leurs réponses ne dépassent pas la perception. Ils sont incapables d’effectuer la coordination des relations nécessaires pour résoudre ce problème c'est-à-dire qu’ils ne font la relation entre largeur du verre et auteur du contenu. Stade 2 (6 ans) : les réactions sont fluctuantes selon les transformations. L’enfant ne réussit pas toutes les étapes, il ne résiste pas aux contres arguments et/ou il ne sait pas justifier ses réponses. = phase intermédiaire.



Psychologie cognitive du développement - CMMme Pascale PLANCHE

-5L’enfant cherche { tenir compte des deux relations mais n’y parvient pas. Il alterne entre coordination et perception. Stade 3 (6 ans ½) : confirmation affirmée avec certitude logique des réponses quelque soit l’étape.  Il y a conservation des quantités, justification et résistance aux contre arguments de façon systématique.



On constate que le raisonnement qui aboutit { l’affirmation de la conservation des quantités discontinues non dénombrables est la coordination logique des relations et une composition mathématique des parties (= mise en proportion). L’enfant doit comprendre que la variation des quantités selon l’une des deux dimensions est conçue proportionnelle { l’autre : ce que le verre perd en largeur, la quantité le gagne en hauteur. Des jeunes enfants sont capables de faire des coordinations sur des situations simples.

Les deux dimensions varient dans le même sens

Seule une dimension varie (niveau du contenu)

Les deux dimensions varient dans des sens opposés

C’est le troisième exemple qui va poser problème.

B.

Les quantités continues

Correspond { l’entrée dans le stade opératoire concret = 7 ans. Porte sur un objet ≠ ensemble d’objets discrets. Ce stade regroupe plusieurs acquisitions : 1. Conservation de la substance (vers 7 ans) 2. Conservation du poids (vers 9 ans) 3. Conservation du volume (vers 11 ans) = pensée pré-formelle 1. Conservation de la substance

Cette conservation a un statut particulier