Taux d’évolution et exposants réels

e de taux t et la deuxième de taux t’. L’évolution globale (de taux T) a pour coefficient multiplicateur le produit des coefficients multiplicateurs : 1 + T = (1 + t)(1 + t’) Par conséquent, le taux global T est égal à T = (1 + t)(1 + t’) - 1

Exemple : Le prix d’un article augmente de 15%, puis diminue de 20% pour augmenter encore de 3%. Quel est le pourcentage total d’évolution ? (1 + 15 20 3 ) × (1 – )×(1+ ) = 1,15 × 0,8 × 1,03 = 0,9476 100 100 100

t = CM – 1= 0,9476 – 1= -0,0524 soit 5,24% Le prix a baissé finalement de 5,24%

4) Evolution réciproque

× (1 + t)

VD

VA

÷ (1 + t)

Le CM du taux d’évolution réciproque est

1 1+t

Exemple : Quel taux faut-il appliquer pour compenser une hausse de 8% ? 1 ≈ 0,9259 Le CM du taux d’évolution réciproque est : 1,08 0,9259 – 1 = - 0,0741 soit une diminution de 7,41%

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II. Exposants réels

1) Généralisation et propriétés des exposants

Les propriétés des exposants entiers s’étendent à tous les exposants réels

Propriétés Soient a, b, x et y des nombres réels, a et b étant strictement positifs. a0 = 1 a a =a

x x y x+y

a1 = a (a ) = a

x y xy

1x = 1 ax x-y y =a a a- x = 1 ax

(ab) =a b

x x

a x ax ( ) = x b b

2) Exposants 1/n

Propriété

Pour a > 0 et n entier naturel non nul :(an)1/n = a Exemple : (54)1/4 = 54×1/4 = 51 = 5 3) Equation xn = a (a > 0 et n entier positif) Le nombre a1/n est l’unique solution positive de l’équation xn = a

Exemples : • La solution positive de l’équation x7 = 4 est 41/7 . ( 41/7 ≈ 1,219) • Résoudre l’équation (1+ x)3 = 2 1+ x = 21/3 x = 21/3 - 1 ≈ 0,25992 Remarque : Il existe une autre notation pour le nombre a1/n La solution positive de l’équation x² = 5 est 51/2 = 5 La solution positive de l’équation x3 = 5 est 51/3 = 3 5 a1/n peut aussi être notée n a (racine nième de a)

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III. Taux d’évolution moyen et moyenne géométrique

On considère n évolutions successives à des taux t1, t2, …, tn . Le taux d’évolution global T correspondant à toutes ces évolutions vérifie : 1 + T = (1 + t1)(1 + t2)…(1 + tn)

1) Taux d’évolution moyen

Définition Le taux d’évolution moyen est le taux unique t qui répété n fois, fournit le même taux global T. Méthode pour calculer le taux moyen : Le CM associé à n évolutions successives de taux t est : (1 + t)n Le CM global est : 1 + T Donc : (1 + t)n = 1 + T

Exemple 1 : Le prix d’un article augmente de 20% puis diminue de 8% puis augmente de 13%. Quel est le taux d’évolution moyen de ce prix ? 1,2 ×0,92 ×1,13 = 1,24752 (1 + t)3 = 1,24752 1 + t = 1,247521/3 t = 1,247521/3 – 1 t ≈ 0,0765 En moyenne, le prix a donc augmenté de 7,65%.

Exemple 2 : Une entreprise affiche un taux d’évolution annuel de 0,1. a) On calcule son taux moyen mensuel : (1 + t)12 = 1 + 0,1 (1 + t)12 = 1,1 t = 1,11/12 – 1 ≈ 0,008 Le taux mensuel est d’environ 0,008 soit un taux d’augmentation de 0,8%. b) On calcule son taux moyen trimestriel : (1 + t)4 = 1 + 0,1 (1 + t)4 = 1,1 t = 1,11/4 – 1 ≈ 0,024 Le taux trimestriel est d’environ 0,024 soit un taux d’augmentation de 2,4%.

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2) Moyenne géométrique

Définitions La moyenne géométrique de 2 nombres a et b est le nombre ab ou (ab)1/2 La moyenne géométrique de n nombres a1,a2,…,an est le nombre (a1a2...an)1/n Pour calculer le CM du taux d’évolution moyen, on utilise donc la moyenne géométrique des CM des évolutions successives : 1 + t = (1 + T)1/n 1 + t = [(1 + t1)(1 + t2)…(1 + tn)]1/n

IV. Indice simple en base 100

Un indice simple traduit une évolution par rapport à une quantité de référence. Par commodité, on écrira souvent indice au lieu d’indice simple. Exemple : On s’intéresse à la population d’un zoo. On veut étudier l’évolution de cette population par rapport à l’année 2000. Année 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Rang 1 2 3 4 5 6 Population (y) 1250 1200 1000 1250 1500 2000 Indice 100 96 80 100 120 160 1200 – 1250 = - 0,04 1250 Avec ce taux d’évolution de - 0,04, si il y avait eu 100 animaux en 2000, il y en aurait 96 en 2001. Le taux d’évolution entre 2000 et 2001 est 96 est l’indice de la population en 2001 avec pour base 100 en 2000

1) Indices

Définition On appelle indice simple en base 100 de y2 par rapport à y1 le nombre y I = 100 × 2 y1

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Exemple : L’indice de la population en 2001 avec pour base 100 en 2000 est égal à : I = 100 × y2 1200 = 100 × = 96 1250 y1

L’indice de la population en 2005 avec pour base 100 en 2000 est égal à : I = 100 × y6 2000 = 100 × = 160 1250 y1

2) Lien entre indices et taux d’évolution

• Un indice permet de connaître directement le pourcentage d’évolution entre la date de référence et une autre. Exemple : l’indice correspondant à l’année 2005 est égal à 160 160 – 100 = 60 Entre 2000 et 2005, la population du zoo a donc augmenté de 60% • Pour calculer le taux d’évolution entre deux dates quelconques Exemple : entre 2001 et 2005 L’indice en 2001 est de 96 L’indice en 2005 est de 160 160 - 96 ≈ 0,6667 soit une augmentation d’environ 66,67% 96

V.