Mémoire Sur La Méthode Des Différences Finies

e taux sans risque, V la valeur de l’option, T la durée de vie de l’option jusqu’à maturité, u>r>d et q la probabilité de hausse de l’action (l’univers risque-neutre est choisi, donc q=r), 1-q étant sa probabilité de baisse.

Arbre binomial à deux périodes

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Pour connaître la valeur de l’option aujourd’hui (valeur V), il convient de remonter les nœuds de l’arbre un à un. Les valeurs de l’option à maturité serviront pour le calcul des valeurs antérieures.

Dans le cas d’un call, Vuu vaut ST-K. En découle l’équation suivante de

Vu= exp(-rT)*(q*(ST-K)+(1-q)*Vud). De même pour le nœud C, avec Vud et Vdd pour le calcul de Vd. En A, V=exp(-rT)*(q*Vu+(1-q)*Vd)

Dans le cas d’un put, Vuu serait nul car les trajectoires suivies par le sous-jacent (up et up) aboutissent sur une valeur du sous-jacent u^2S hors de la monnaie. Il faut donc s’intéresser à Vdd. En effet, d^2S affiche la plus forte baisse du sous-jacent depuis S. En ce point, la valeur de l’option est maximisée. Son équation est la suivante : Vdd=K-ST. A la différence du put européen, le put américain nécessite de remonter les nœuds, afin de maximiser la valeur de l’option dans le but de l’exercer prématurément ou non. Dans la même logique que le put, on en déduit Vd=exp(-rT)*(q*Vud+(1-q)*(K-ST) et V=exp(-rT)*(q*Vu+(1-q)*Vd). Au final, le choix de l’exercice de l’option se fera en comparant les valeurs de V, Vu, Vd, Vuu, Vud, Vdd.

Ses avantages

Cette méthode est relativement simple d’accès et demande peu de connaissances numériques avancées.

La valeur q représente la probabilité de hausse de l’actif et est égale au taux sans risque car nous évoluons dans un univers risque-neutre. L’évaluation risque-neutre est utilisée dans le souci de simplifier les calculs d’espérance de rentabilité des actifs, complexes et irréguliers dans l’univers réel, en se basant sur la valeur du taux sans risque. Cette focalisation technique sur le risque-neutre semble est en adéquation avec les comportements actuels méfiants des investisseurs face au risque.

Ses inconvénients

Pour une bonne fiabilité de la méthode, il faudrait recourir à l’examen de 30 pas au moins selon François-Eric Racicot dans « Finance computationnelle et gestion des risques »2006, page 188). Ce modèle est fastidieux, compte tenu du temps à passer sur l’estimation des valeurs de l’option à chaque nœud.

2 La méthode de Black and Scholes

Présentation de la méthode

Ses avantages

Ses inconvénients

3 Monte-Carlo

Présentation de la méthode

Ses avantages

Ses inconvénients

Les méthodes utilisées pour l’évaluation d’une option selon la méthode des différences finies.

1 La méthode explicite

2 La méthode implicite

3 La méthode de Crank-Nicholson

4 Algorithme d’accélération de calculs

Exemple d’implémentation

1 Implémentation d’une option européenne par Black and Scholes

2 Implémentation d’une option américaine exotique

3 Etude des vitesses de convergence et des temps de calcul.

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S

V

uS

Vu

dS

Vd

u^2S

Vuu

udS

Vud

B

d^2S