Mathématiques Financières

on des titre de créance négociables.

Lorsque l’émetteur d’un tcn est une banque on parle de certificat de dépôt

Lorsque l’émetteur est l’état on parle de bon du trésor.

Exemple

Un investisseur souscrit à l’émission d’un billet de tresorerie dont les caractéristiques sont les suivantes : le nominal est d’1m d’E, le taux nominal=taux facial=5% durée de vie 3 mois

1°Montant perçu par l’investisseur à l’échéance

-> 1.000.000 (1+ (90*5%/360))= 1.012.500

2° contenu d’un besoin de liquidité imprévu l’investisseur, doit revendre son titre au bout d’un mois a cette date le taux de référence du marche monétaire est de 6%

->L’acquéreur du titre au bout d’un mois (sur le marché secondaire) sait qu’il obtiendrait un rendement de 6% en souscrivant à l’émission d’un nouveau titre sur le marché primaire. Par conséquent il fixe le prix d’achat sur le marché secondaire qui lui permet d’obtenir un rendement de 6% sachant que l’échéance l’entreprise verse au porteur du titre 1.012.500

Soit x= prix de revente du BT au bout d’1 mois

X est fixé tel que : X (1+(6%60 /360)=1.012.500 1.012.500 /1+(6%*60/360)=1.002.475E

3° tx de rendement du placement du souscripteur (à l’émission)= i

i vérifie =1.000.000(1+30i/ 360)=1.002.475

i=1.002.475 /1.000.000-1) =2,97%

En revendant son titre avant l’échéance le souscripteur obtient un rendement de 2,97 % alors qu’il attendait un rendement de 5%

La baisse de son rendement est la conséquence de la hausse du taux de référence

4° Variantes

On suppose que lors de la revente du titre au bout d’un mois, le taux de référence sur le marché monétaire est de 4%. Calculer le prix de revente du titre et le taux de rendement du titre

Soit X’= valeur de revente du BT au bout d’1 mois, X’ vérifie :

X’= (1+4%*60/360))=1.012.500

En effet si le taux monétaire est de 4 % l’acquéreur est prêt à se contenter d’un rendement de 4% dès lors : X’=1.012.500./1+(4%*60 /360))=1.005.795E

Soit i’ = le rendement du placement du souscripteur, i’ verifie :

1.000.000(1+30i/360)=1.005.795

i’ =360/30(1.005.795/1.000.000 -1)

en revendant sont titre avant l’échéance le souscripteur profite de la baise des taux est obtiens un rendement de 6,95% supérieur qu’il aurait obtenu jusqu’a l’échéance

SYNTHESE

Taux de référence | Prix du titre | Taux de rendement du souscripteur |

4% | 1.005.795 | 6,95% |

6% | 1.002.475 | 2,97% |

On constate donc, que la hausse des taux porter ici de 4 a 6% conduit à une baisse de la valeur des titres ramenées ici de 1.005.795 E à 1.002.475.

Nb : retour sur la valeur des titres

le prix du titre =1.012.500/1+(6%*60 /360))= 1.002.475

1.012.500 /1+(4%*60/360)= 1.005.795

La hausse des taux de référence se traduit par une baisse de la valeur des titres car le taux de référence est pris en compte au dénominateur dans le cas d’un calcul d’actualisation

3° Intérêt composé

a) Valeur future par capitalisation

Dans l’hypothèse d’un placement d’une durée supérieure à un an les intérêts générés chaque années sont réinvestit.

Soit V0= montant investit à la date t=0

Et Vn= valeur acquise /capitalisée/future de V0 au bout de n années ou i= taux nominal

V1=VO (1+i)

V2=V1 (1+i) =V0(1+I) (1+i)=V0(1+I)2<-> Vn=Vo (1+i)n

Ex un investisseur place 1000 EUROS sur un livret A à 2,25% pendant 5ans

V5+ 1000(1+2,25%) 5=1 118 EUROS

B Valeur acquise par actualisation

On connait Vn et on cherche Vo

Vo= Vn/(1+i)n

Une entreprise investit 1m pendant 3 au taux de référence de 4,95%

Ici V3=1.000.000

I=4,5%

n=3

On cherche V0=1.000.000/(1+4,5%)3=876.297euros

Il est équivalent pour l’entreprise de percevoir immédiatement 876297 euro ou de recevoir 10000000 dans 3 ans

En effet si elle reçoit 876.297 E elle peut placer cette somme à 4,5% pendant 3 ans et recoupera ainsi 1.000.000 d’euros.

b) Annuités constants

c.1 Somme d’annuités constantes capitalisées

Un investisseur place un montant A le premier janvier de chaque années pendant n années au taux i

T=0 t=1 T=2 T=NA

Au bout de n année il récupère le capital (cad les annuités) placée +intérêts à savoir

A(1+i)n+a (in)n-1 + a(1+i)n-2+………+a(1+i)1+ a(1+i)0

=

4) le taux de rendement actuarielle ou taux équivalent annuel

Les remboursements précédents concernent uniquement les entreprises. Pour les particuliers il existe un remboursement par mensualité constante. Le taux annoncé par la banque a un emprunteur est un taux nominal nécessairement annuel. Le taux utilisé pour des calculs financiers dans l’hypothèse ou l’emprunteur effectue n paiement par an = au taux nominal /n

Soit i = taux nominal et taux proportionnel à i paiement par i /n

Le taux mensuel = 6%/12=0,5%

Taux nominal =12% taux trimestriel= 12/4

5° Relation taux requis-valeur dans le cas de l’intérêt composé

a)Notion