Coucou

ndice élémentaire de prix de 2005 en base 2000 est égal à i 05/00 = 1,116 (base 1 en 2000) ou 111,6 (base100 en 2000).

* L’indice élémentaire de prix de 2009 en base 2005 est égal à i 09/05 = 1,103 (base 1 en 2005) ou 110,3 (base 100 en 2005).

* L’indice élémentaire de prix de 2009 en base 2000 est égal à i 09/00 = 1,231 (base 1 en 2000) ou 123,1 (base 100 en 2000), c’est-à-dire au produit des deux indices précédents, soit :

1,116 * 1,103 = 1,231.

* On peut vouloir calculer l’indice élémentaire de prix i09/05 connaissant les indices élémentaires i 05/00 et i 09/00. On déduit de la formule précédemment utilisée que cet indice est alors égal au rapport i 09/00 / i 05/00 soit 1,231 /1,116 = 1,103 soit 110.3 base 100 en 2005. On effectue ainsi un changement de base, pour le calcul de l’indice de prix de 2009, en passant de la base 2000 à la base 2005.

2.3.2. La réversibilité.

Soit x0 la valeur observée d’une grandeur X à la date 0 et xt la valeur observée de cette même grandeur à la date t. Soit i t/0 l’indice élémentaire à la date t, en base 0.

i 0/t , l’indice élémentaire de cette grandeur à la date 0, en base t, est égal à l’inverse de l’indice i t/0. En effet, i 0/t = x0 / xt soit l’inverse du rapport xt / x0 qui est égal à i t/0.

Un exemple :

Soit le prix du kilo d’oranges en 2009 : 9,87 u.m, et en 2000 : 8,02 u.m.. Nous avons vu que l’indice élémentaire de prix 2009 en base 2000 était égal à : i 09/00 = 9,87 / 8,02 = 1,231 (base 1 en 2000) ou 123,1 (base 100 en 2000).

En conséquence, l’indice élémentaire de prix 2000 en base 2009 est égal à 8,02 / 9,87 soit 0,813 (base 1 en 2009) ou 81,3 (base 100 en 2009), soit l’inverse de l’indice précédent (on s’abstiendra d’arrondir en cours de calcul).

2. Les indices synthétiques.

2.1. Définition.

Les indices élémentaires retracent l’évolution d’une seule grandeur, parfaitement définie et homogène, grandeur (ou phénomène, ou variable statistique) simple ou élémentaire.

On est cependant souvent amené à suivre l’évolution de grandeurs complexes, composées de deux ou plusieurs grandeurs élémentaires, par exemple :

* L’indice général des prix à la consommation, prenant en compte les prix de 161 articles de référence rentrant dans la consommation des ménages.

* L’indice de la production industrielle en France, prenant en compte la production des différentes branches de l’industrie.

L’évolution de chacune des grandeurs simples composant la grandeur complexe est donnée par un indice élémentaire, base 100 pour l’année de référence (actuellement l’année 2005 pour les comptes de l’INSEE).

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On appelle « indice synthétique » l’indice d’évolution de la grandeur complexe considérée, base 100 pour l’année ou la date de référence, obtenu par agrégation des indices élémentaires d’évolution des grandeurs simples qui la composent.

Si le principe d’agrégation retenu est la moyenne arithmétique des indices élémentaires, on travaillera sur des indices synthétiques de LASPEYRES ; si le principe d’agrégation retenu est celui de la moyenne harmonique des indices élémentaires, on travaillera sur des indices synthétiques de PAASCHE. L’indice synthétique de Fischer est conçu comme la racine carrée du produit des deux indices précédents.

On étudiera plus précisément les indices synthétiques de LASPEYRES.

2.2. Indices synthétiques de prix de LASPEYRES.

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Le principe d’agrégation retenu est celui de la moyenne arithmétique des indices élémentaires de prix, chacun étant pondéré par un coefficient budgétaire calculé sur la période de référence (la période de base).

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Dans le cas des indices de prix à la consommation, le coefficient budgétaire de l’indice élémentaire du produit j est égal à la part que représente la dépense en produit j par rapport à la dépense totale de consommation, tous produits confondus.

a) Un exemple :

Soit les informations suivantes, concernant les prix de vente au détail et la consommation annuelle moyenne par personne (en valeur) des trois produits suivants, entrant dans la composition d’un petit déjeuner :

N° Article | Produits | Prix 2000 | Prix 2009 | Indice élémentaire de prix 09 / 00 | Consommation 2000 en valeur u.m. | Consommation 2009 en valeur u.m. |

1 | Orange (kg) | 8,02 | 9,87 | 1,231 | 552 | 763 |

2 | Croissant | 3,15 | 3,76 | 1,194 | 2300 | 1980 |

3 | Café (kg) | 50,94 | 81,79 | 1,606 | 246 | 478 |

L’indice synthétique des prix des trois produits, pour 2009 en base 2000, d’après la formule de LASPEYRES, est donné par :

* la moyenne arithmétique des 3 indices élémentaires de prix (pour 2009 en base 2000)

* chacun étant pondéré par la part que représente, pour l’année de base ou de référence (ici 2000), la consommation annuelle de chaque produit j en valeur, [c’est-à-dire prix du produit j en 2000 (P00j) multiplié par quantité consommée en 2000 (Q00j) soit P00j * Q00j] dans la consommation totale, soit j=13P00j*Q00j.

* On nommera a 00j le coefficient budgétaire du produit j en 2000, avec : a00j=P00j*Q00jj=13P00j*Q00j

Soit : Consommation en valeur du produit j / Consommation totale en valeur, tous produits confondus, en 2000.

Les pondérations sont nécessaires, car on ne consomme pas autant d’oranges que de croissants ou de cafés. Dans un indice de LASPEYRES, les pondérations sont celles de l’année de référence.

L’indice synthétique de LASPEYRES du prix du petit déjeuner en 2009, base 2000, est égal à :

Remarque : les calculs peuvent être exécutés directement avec les indices élémentaires base 100 en 2000.

b) Généralisation :

Soit k produits, et i jt/0 (j allant de 1 à k) l’indice élémentaire de prix du produit j à la date t, en base 0.

Soit aj0 (j allant de 1 à k) le coefficient budgétaire associé