Lbo Et Création De Valeur

s continues de la physique en un problème discret sur un certain domaine de calcul .

Dans d'autres cas, les simulations numériques sont ménées en parallèle avec des expérimentations .

2. De la modélisation à la simulation numérique :

Les différentes étapes pour modéliser un système complexe :

* Recherche d'un modèle mathématique réprésentant la physique.

* Mise en équation.

* Elaboration d'un maillage.

* Discrétisation des équations de la physique.

* Résolution des équations discrètes (souvent systèmes linéaires à résoudre).

* Transcription informatique et programmation des relations discrètes.

* Simulation numérique et exploitation des résultats.

3. LES TROIS GRANDES FAMILLES DE METHODES

Pour passer d'une problème exact continu régit par une EDP au problème approché discret, il existe trois grandes familles de méthodes :

Les différences finies :

La méthode consiste à remplacer les dérivées partielles par des différences divisées ou combinaisons de valeurs ponctuelles de la fonction en un nombre fini de points discrets ou nœuds du maillage.

* Avantages : grande simplicité d'écriture et faible coût de calcul.

* Inconvénients : limitation à des géométries simples, difficultés de prise en compte des conditions aux limites de type Newmann.

Les volumes finis :

La méthode intègre, sur des volumes élémentaires de forme simple, les équations écrites sous forme de loi de conservation.

Elle fournit ainsi de manière naturelle des approximations discrètes conservatives et est particulièrement bien adaptée aux équations de la mécanique des fluides.

Sa mise en oeuvre est simple avec des volumes élémentaires rectangles.

* Avantages : permet de traiter des géométries complexes avec des volumes de forme quelconque,détermination plus naturelle des conditions aux limites de type Newmann.

* Inconvénient : peu de résultats théoriques de convergence.

Les éléments finis :

La méthode consiste à approcher, dans un sous-espace de dimension finie, un problème écrit sous forma variationnelle (comme minimisation de l'énergie en général) dans un espace de dimension infinie.

nombre fini de paramètres comme, par exemple, ses valeurs en certains points ou nœuds du maillage.

*Avantages : traitement possible de géométries complexes, nombreux résultats théoriques sur la convergence.

* Inconvénient : complexité de mise en oeuvre et grand coût en temps de calcul et mémoire.

4. Méthode de résolution numérique

*

Soit à résoudre l’équation de Laplace sur un domaine plan (D) limité par un contour (C).

On réalise un maillage du système avec un pas ∆x en général identique dans les deux directions du plan.

On affecte à chaque point du domaine (D) une valeur initiale de la température :

- Egale à la température imposée sur les points du contour où la condition limite impose une température.

La résolution s’effectue par la méthode itérative de Gauss-Siedel. On effectue des itérations successives consistant à remplacer la valeur de la température en chaque nœud du maillage par la valeur calculée par l’équation aux différences finies qui lui est associée. Une itération consiste à effectuer un balayage complet de tous les noeuds, ligne après ligne et de gauche à droite pour chaque valeur.

* Discrétisation de laplacien :

La distribution de température T(x, y) dans la plaque