Comment les intégrales de Wallis permettent de donner une estimation du nombre pi plus précise

Bonjour, aujourd’hui je vais vous parler d’une intégrale qui a marqué le 17e siècle, et le cours de l’histoire mathématiques, les intégrales de wallis. Elles ont permis de mieux comprendre le nombre pi, et d’améliorer son estimation.

Je vais donc vous montrer comment les intégrales de Wallis permettent de donner une estimation du nombre pi plus précise.

Je vais tout d’abord commencer par vous présenter l’homme qui a découvert cette intégrale, puis je vais essayer de mieux comprendre le fonctionnement de cette dernière, enfin je vais montrer comment elle permet d’obtenir une estimation de pi.

Je vais d’abord vous présenter John Wallis , l’homme qui est derrière cette intégrale.

John Wallis est un mathématicien du 17e siècle. Il découvre les mathématiques à l'âge de 15 ans et fait ses études à Cambridge. Des années plus tard, il a inventé le symbole infini, puis les intégrales de Wallis.

Au 17e siècle, on ne connaissait pas grand-chose sur le nombre pi on ne savait même pas qu’il était irrationnel, c’est pour pour cela que sa trouvaille a été si importante, et un bond en avant dans les mathématiques.

Les intégrales de Wallis sont une suite numérique qui est définie pour tout n appartenant à N par ∫0pi/2 sin(t)ndt

Les intégrales de wallis sont fondamentales dans le patrimoine mathématiques, dans la mesure où grâce à celle-ci, on a obtenu la première expression de pi sous forme de produits infinis de rationnel.

Mais comment fonctionne cette intégrale? Sa suite est elle croissante? décroissante? sa courbe est-elle continue? a-t-elle une limite finie ? existe-t-il une relation entre ses termes ?

Maintenant je vais répondre à toutes ces questions.

Pour commencer, je vais calculer ces 3 premiers termes pour essayer d’estimer son allure.

Je trouve que W0=pi/2 et W1=1, W2=pi/quatre.

On observe que W0>W1>W2, on peut donc conjecturer que la suite est décroissante.

Mais vérifions qu’elle est décroissante pour tous les termes.

Il y a différentes méthodes, mais je vais étudier le signe de la différence entre Wn+1 et Wn, ce qui donne Wn+1-Wn= ∫0pi/2sin(t)n+1- ∫0pi/2sin(t)ndt

Pour faire cela, je vais utiliser la linéarité de l’intégrale, qui me permet d’obtenir

Wn+1-Wn= ∫0pi/2sin(t)n+1- sin(t)ndt

Cela me permet de factoriser par sin(t)n, et d’obtenir que Wn+1-Wn= ∫0pi/2 sin(t)n(sin(t)-1)dt

Donc Wn+1-Wn= ∫0pi/2 sin(t)n(sin(t)-1)dt < 0

Je sais que l’intégrale d’une fonction positive est un nombre positif. Or je sais que le sinus est toujours compris entre -1 et 1. Donc sin(t)-1 est inférieur ou égal à 0. Je vais donc factoriser par -1 et utiliser la linéarité de l’intégrale pour obtenir finalement que

Wn+1-Wn= - ∫0pi/2 sin(t)n(1-sin(t))dt . Je sais que sur [0;pi/2], sinn(t) est positif , et que 1-sin(t) est un nombre positif. L’intégrale est donc un nombre positif mais avec le moins devant, Wn+1-Wn est strictement négatif. Donc Wn est décroissante.

De plus, on remarque que cette suite est minorée par 0. En effet, Wn= ∫0pi/2 sin(t)ndt, et le sinus est toujours positif sur [0;pi/2]. Wn est donc une suite de nombres à termes positifs, qui est minorée par 0.

Je viens donc de vous montrer que la suite est strictement décroissante et minorée par 0. D’après le théorème de la limite monotone, elle converge vers limite finie.

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Tout ce que je viens de vous montrer est très beau, mais existe-il une relation de récurrence entre les termes de cette suite ? Pour savoir cela, je vais évaluer Wn+2 , c’est-à-dire ∫0pi/2 sin(t)n+2dt. On peut écrire que Wn+2= ∫0pi/2 sin(t)2 x sin(t)ndt.

L'intérêt d’écrire Wn+2 sous cette forme est qu’à l’aide de la relation fondamentale de la trigonométrie, qui dit que pour tout t appartenant aux réels, cos(t)2+sin(t)2=1, on peut transformer, dans l’expression, sin(t)2 par 1-cos(t)2, et obtenir Wn+2= ∫0pi/2 (1-cos2(t))sinn(t)dt.

Puis je vais développer l’expression dans l’intégrale, et j’obtiens donc

Wn+2= ∫0pi/2 sinn(t) - cos2(t)sinn(t)dt.

Et grâce à la linéarité de l’intégrale, cela me permet d’obtenir que

Wn+2= ∫0pi/2 sin(t)ndt- ∫0pi/2 cos2(t)sinn(t)dt. Enfin je sais que ∫0pi/2 sin(t)ndt = Wn Je trouve donc finalement que Wn+2= Wn - ∫0pi/2 cos2(t)sinn(t) dt

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