La France

d) e  x 1  x 2  . g) x2e x  3xe x .

e2 x  1 . e2 x  1 ex h)  . 2  x  1

e x e  x

1 ex 1 e x

ex  1

ex 1

e)

f)

1 . 1  e x

V.

Dérivation

exp  exp

Exercice 11 : Dériver la fonction f définie par : a) f ( x)   x 2  5 x  6  e x sur . c) f ( x ) 

x 1  sur . 3 ex

b) f ( x)  2ex  x  2 sur . d) f ( x) 

ex sur 1;  . x 1

Exercice 12 : Soit f la fonction définie sur  par f ( x)  ex  x . a) Calculer f ( x ) . b) Dresser le tableau de variation de f. c) Montrer que f ne s’annule pas sur .

1 . e 1 La tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d’abscisse 0 est-elle parallèle à la 1 droite d’équation y   x ? 4

Exercice 13 : Soit f la fonction définie sur  par f ( x) 

x

(eu   ueu

Exercice 14 : Dériver la fonction f définie par : a) f ( x)  e x sur . c) f ( x)  xe2 x sur . e) f ( x)   x 2  2 x  1 e  x  1 sur . g) f ( x) 

1 sur . e  e x

x

b) f ( x)  e2 x5 sur . d) f ( x)   x  2 e3x sur . f) f ( x)  e x sur *. h) f ( x)  ex

2

1

3 x 5

sur .

*Exercice 15 : Soit f la fonction définie sur  par f ( x)   ax 2  bx  c  e  x .

Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout réel x, f ( x)   x 2  4 x  3 e  x .

VI.

Autour des limites

Exercice 16 : Déterminer les limites en  et en  de la fonction f définie par : a) f ( x)  ex  x  3 . b) f ( x)  e x  2 . c) f ( x)  1  e x .

1 d) f ( x )  . 1  e x

e) f ( x)  e .

1 x

Exercice 17 : Déterminer les limites en  et en  de la fonction f définie par : a) f ( x)   x 2  2 x  1 e  x  1 . b) f ( x)  2ex  x  2 . Dans certains cas, on sera amené à citer une propriété du cours. *Exercice 18 : Déterminer les limites en  et en  de la fonction f définie par : a) f ( x)  e2 x   x  1 ex (en  , on pourra mettre e 2 x en facteur). b) f ( x) 

e13 x (en  , multiplier numérateur et dénominateur par e3 x ). 3 x 1 e

x 1  . 3 ex Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition et montrer que la courbe représentative de f admet une asymptote.

Exercice 19 : Soit f la fonction définie par f ( x ) 

Exercice 20 : Soit f la fonction définie par f ( x)   2  x  ex . Justifier les affirmations données par le tableau de variations suivant : x

f ( x )

0

1







0 e

f ( x)

2



VII.

Équations différentielles

Exercice 21 : On considère l’équation différentielle (E) : y  2 y  e2 x . Montrer que la fonction u définie sur  par u( x)  xe2 x est solution de (E). Exercice 22 : Résoudre les équations différentielles suivantes : a) y  y  0 . b) y  2 y  0 . Exercice 23 : On pose, pour tout réel x, f ( x)  e x et g ( x)  xe x . Vérifier que g est solution de l’équation y  y  f . Exercice 24 : Soit (E) l’équation différentielle : y  

1 y. 16

c) 3 y  y  0 .

a) Résoudre l’équation (E). b) Montrer qu’il existe une seule solution prenant la valeur 4 en 0 ; préciser laquelle. Exercice 25 : Soit (E) l’équation différentielle : y  2 y  1  0 . Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? 1) (E) admet une fonction polynôme du premier degré comme solution. 2) Si g, fonction positive définie sur  est solution de (E), alors g est croissante. 1 3) La fonction h définie sur  par h( x)  3e 2 x  est solution de (E). 2 Exercice 26 : Quelle est la bonne réponse ? L’équation différentielle y  2 y  1 a pour ensemble solution : a) x  k e2 x  1 , k appartenant à . c) x  k e

1 x 2

b) x  k e 2  1 , k appartenant à . d) x  k e 2 x 

1 , k appartenant à . 2

x

 1, k appartenant