Limite d'Une Suite

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|On note : +)) u n = – | |

cas 3 ( suite convergente )

| |De manière plus mathématique : |

|Soit L un réel donné. | |

| |Pour tout ( (( > 0 ) , il existe un entier naturel p , tel que, si |

|Intuitivement, dire que ( u n ) a pour limite L , signifie que lorsque n est de plus en |n p , alors u n ] L – ( ; L + ( [ |

|plus grand, les nombres u n correspondants viennent s’accumuler autour de L |( c’est à dire L – ( < u n < L + ( ) |

|C’est à dire, tout intervalle ouvert de centre L contient tous les termes de la suite à | |

|partir d’un certain rang. |Ex : +)) = 0 |

|On note : +)) u n = L | |

Rem :

Si une suite ( u n ) a une limite finie L , alors la limite L est unique.

cas 4

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|Aucun des trois cas ne se produit. |

Ex : La suite ( u n ) définie par u n = ( - 1 ) n prend successivement les valeurs 1 et – 1

Ainsi ( u n ) n’a pas pour limite + , n’a pas pour limite – et n’a pas pour limite un réel.

Rem : Une suite qui ne converge pas est divergente . ( cas 1 , cas 2 , cas 4 )

2 ) LE CAS u n = f ( n )

| |Preuve intuitive : ( cas où la limite est + ) | |

|Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [ a ; + [ et ( u n ) la | | |

|suite définie par u n = f ( n ) . |f a pour limite + en + . Ainsi lorsque x décrit l’intervalle [ a ; +| |

| |[ les nombres f ( x ) sont aussi grands que l’on veut dès que x est | |

|Si f a une limite finie ou infinie en + , alors la suite ( u n ) a la même limite. |assez grand . Il en est donc de même pour les nombres u n = f ( n ) | |

| |puisque x prend toutes les valeurs entières de [ a ; + [ … | |

Ex : Soit ( u n ) la suite définie par u n = et la fonction f : x )

Pour tout entier naturel n , on a u n = f ( n ) ; de plus … +)) f ( x ) = 3

On en déduit que +)) u n = 3

Attention : La réciproque est fausse .

Ex : Pour tout entier naturel n , on a sin ( 2 ( n ) = 0 .

Ainsi la suite ( u n ) définie par u n = sin ( 2 ( n ) est une suite constante, donc convergente.

Mais , la fonction f : x ) sin ( 2 ( x ) n’admet pas de limite en + .

Conséquences pour quelques suites de référence :

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|Les suites de termes généraux , n , n ² et n 3 ont pour limite + . |

|Les suites de termes généraux )) , , et convergent vers 0 . |

3 ) OPERATIONS ALGEBRIQUES

Les théorèmes énoncés sur la limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient de deux fonctions sont encore vrais pour les suites.

Ex : « Le cas de l’inverse »

• Si +)) u n = + , alors +)) = 0

• Si +)) u n = 0 et u n > 0 ( à partir d’un certain rang ) , alors +)) = + .

4 ) THEOREME DES GENDARMES

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|Soit ( u n ) , ( v n ) et ( w n ) trois suites vérifiant à partir d’un certain rang u n w n v n . |

|Si ( u n ) et ( v n ) sont deux suites convergentes de même limite l , alors la suite ( w n ) est convergente et +)) w n = l |

Preuve :

Soit ( > 0.

Il existe un entier naturel p1 , tel que, si n p1 , l – ( < u n < l + (

De même, il existe un entier naturel p2 , tel que, si n p2 , l – ( < v n < l + (

Soit N le plus grand des entiers p1 et p2 .

Ainsi pour tout n > N , on a l – ( < u n w n v n < l + ( et donc l – ( < w n < l + (

5 ) LIMITES DES SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES

A ) SUITES ARITHMETIQUES ( évident )

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