Pavages Du Plan

, le cristallographe et mathématicien russe Fedorov et Schönflies ont indépendamment retrouvé les résultats de Bravais en les présentant dans un cadre groupal.

Fedorov a montré en 1891 (Université de Saint-Petersbourg), qu'il n'existe que 17 types de pavage du plan (heptadécacité). Ces types sont classés suivant l'agencement des rotations et des symétries qu'on peut y trouver. Ils constituent ce que l'on appelle les groupes cristallographiques par analogie avec les groupes conservant les cristaux dans l'espace euclidien à 3 dimensions.

Nous regardons ici, les pavages du plan "périodiques" ou répétitifs, c'est à dire invariants par un groupe discret de translations et, par conséquent, par un des 17 groupes cristallographiques.

Il existe toujours une isométrie qui amène un pavé sur un autre pavé quelconque, mais qui de plus conserve l'ensemble du pavage. Ce pavage s'étend à l'infini ; il existe des translations dans des directions différentes. On peut caractériser, en partie, le pavage en décrivant son groupe. Ce groupe contiendra toujours des translations dans plusieurs directions, mais aussi des rotations, des symétries axiales, des symétries glissées.

Les arabes ont développé de très beaux pavages géométriques. En effet, ils ne devaient pas représenter Allah et ont puisé leur inspiration dans la géométrie. Ils ont créé en Andalousie de merveilleux chefs d'oeuvre pour décorer palais et mosquées en utilisant toutes les dispositions possibles. Ce sont de vrais précurseurs dans le domaine des pavages.

Analyse rapide de mosaïques.

L'art de paver le plan (le sol, les murs, le plafond...) avec un motif relève à la fois de l'artisanat et des mathématiques.

On pave avec des carreaux. Avec une infinité de carreaux tous identiques et avec des règles d'assemblage adaptées, on peut remplir tout le plan, sans trou ni recouvrement.

Pour réaliser les mosaïques les carreleurs utilisent des transformations géométriques simples :translations, rotations, réflexions et réflexions suivies de translations.

Les Musulmans décorent les édifices avec des motifs géométriques. Ils les ont perfectionnés et élevés à un niveau de complexité et de développement jamais connus auparavant. Dans les motifs décoratifs qui ornent les faïences au sein de l'Alhambra, se cachent des régularités basées sur des figures répétitives, des couleurs qui suivent un modèle de dessin et des transformations géométriques comme les symétries, les rotations et les translations

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Une des configurations les plus rencontrées est la "pajarita" (cocotte en papier) ; on la trouve par exemple sur la partie basse des murs du patio de los Arrayanes.

L'espace se structure en triangles équilatéraux.

On rencontre également très souvent l'étoile à 8 ou 16 branches obtenue par rotations de carrés.

La trame des petits carrés obtenue sert de guide pour tracer les figures qui composent l'étoile et les entrelacements du dessin.

La composition finale est une sorte de labyrinthe sans fin composé de multiples formes colorées.

Sur les mosaïques de l'Alhambra on trouve des exemples des 17 types