Statistiques appliquées à la gestion

Feuille d’identité

[pic 1]

PROBLEME 1^[a]

 1. L’hypothèse nulle est :

H₀ : µ = µ₀

La contre-hypothèse est :

H₁ : µ ≠ µ₀        

     2. La probabilité qu’une erreur de première espèce soit commise est de 5%

     3. L’équation de la statistique test est :

Z = (Ẋ͞ - µ₀)/(σ/√n)

      4.La règle de décision est :

D’après H₁ et au seuil α= 0,05, les valeurs critiques de l’écart réduit sont Z₀‚₀₂₅=1,96 et -Z₀‚₀₂₅ = -1,96. On adoptera la règle de décision suivante :

Rejeter H₀ si Z > 1,96 ou Z < -1,96, sinon ne pas rejeter H₀.

     5.Rejet ou pas de l’hypothèse nulle

Calcul de l’écart réduit

Z = (Ẋ͞ - µ₀)/(σ/√n)

Z=  (5,84-6)/(0,5/√64)

Z= -2,56 < -1,96. Donc nous rejetons H₀ et nous favorisos H1. 

Calcul de p

αp= 2. P(Zcal)

    = 2. P(Z <-2,56)

    = 2. (0,5-0,49477)

αp = 0,01046 < 0,05. L’hypothèse nulle est rejetée.

Calcul de la probabilité qu’une erreur de type 2 soit commise (β)

Calcul des valeurs critiques de la moyenne de l’échantillon

X1=µ₀ - Zα/2 (σ/√n)

    =6 – 1.96. (0,5/√64)

X1= 5,8775

X2 =µ₀ + Zα/2 (σ/√n)

     =6+ 1.96(0,5/√64)

X2 = 6,1225

β = P ((5,88-5,9)/0,5/√64)

   = P (-0,32 < Z < 3,52)

   = P (0

   = (0,49978) – (0,5-0,1255)

   = 0,49978 -0,3745^[b]

β = 0,1253

La puissance du  test est 1-β = 1-0,1253 = 0,8747

PROBLEME 2^[c]

1.Calcul de la moyenne de l’échantillon

X =(4,60+5,14+4,89+5,26+4,75+4,96+4,57+4,82+4,85+4,65+5,43+5,82)/12

X = 4,98

Calcul de l’écart-type

σ = ∑ (xi – X)2 / (n-1)

σ = 0,37

Hypothèses

Soit l’hypothèse nulle H0

On a :

H0 : µ = µ₀

H1 : µ ≠ µ₀

Seuil de signification

Le seuil de est de 0,05

Conditions d’application du test

Petit échantillon (n=12<30)

Statistique

L’Équation de la statistique est :

T=(X-µ)/(σ/√n). Il est distribué selon la loi de student avec v=n-1=11

Règle de décision

La règle de décision est :

D’après H₁ et au seuil α= 0,05, les valeurs critiques de l’écart réduit sont t₀‚₀₂₅ ;11=2,2010 et -t₀‚₀₂₅ ;11 = -2,2010. On adoptera la règle de décision suivante :

Rejeter H₀ si t > 2,2010 ou t < -2,2010, sinon ne pas rejeter H₀.

Calcul de l’écart réduit

Puisque n < 30, on aura :

T = (X-µ)/(σ/√n)

T = (4,98-4,8)/(0,37/√12)

T = 1,64 < 2,2010. Donc nous ne rejetons pas H₀. On conclut donc qu’il n y a pas de différence significative entre la quantité moyenne de café consommée et la moyenne nationale.^[d]

2.a)

Hypothèses

Soit H₀ : µ = µ₀

              H1 :   µ < µ₀

Seuil de signification

Le seuil de sigification est α = 0,05

Conditions d’application du test

Echantillon très grand (n>30)

Statistique

L’équation statistique est :

Z = (X-µ₀)/(σ/√n)