Statistiques inférentielles

CHAPITRE 1 : Distribution des statistiques d’échantillonnage (et rappels de probabilités)

Introduction : Qu’est-ce que la statistique inférentielle ?

Statistique descriptive :

Statistique inférentielle : les calculs se font sur l’échantillon et les conclusions se font sur la population. Il a toujours un degré d’erreur. Il faut que la taille de la population soit grande.

I- Constructions d’échantillons

Dans ce cours on note :

-Taille de l’échantillon n

-Taille de la population N (N>n)

-µ moyenne dans la population

-p = propension dans la population

-sigma σ = écart type dans a population

Sigma carré = variance

-recensement = on interroge toute la population sinon c’est un sondage.

- échantillon représentatif = il faut qu’il soit aléatoire

-individus i.i.d (i= independants i.d= meme population)

On pose trois types de questions (sur la variable X) :

-sur la distribution de la variable

-sur l’estimation (chap 2)

-question binaire (chap 3,4,5)

Une population et un échantillon sont constitué d’individus statistique.

Type de variable Quantité observé (échantillon) Paramètre inconnus (population)

Qualitative (nominale ou ordinale) Fn=proportion observé P= proportion inconnue

Quantitative (discrète ou continue) Moyenne d’echantillonage = Xn

Variance d’échantillonage = S2 Moyenne inconnue = µ

Ecart type = σ

Variable discrete = pas bcp de valeurs

II – Rappels sur les probabilités/variables aléatoires

A) Définitions de base :

Une variable aléatoire (X,Y) est une quantité/nombre qui dépend du hasard.

On note une va avec un petit x une réalisation de la va.

B) Moments :

Esperance = E(x) valeur vers laquelle on tendrait si on réalisait l’expérience une infinité de fois et qu’on calculait une moyenne géométrique.

Propriétés espérance : quelque soit (a,b) appartenant a ℝ E(aX+ bY) = aE(x) + b E(y) attention cependant cela ne marche pas avec la multiplication E(XY) ≠ E(X) * E(Y)

Variance = Var(x) = E(X-E(x))2

Propriétés de la variance :

1) Var (x) = E(x2) – [E(x)]2

2) Quelque soit a et b appartenant a ℝ, Var(aX+b) = a2 * var(X)

3) Var (X+Y) = Var (X) + Var (Y) + 2 covariance (X,Y)

C) Fonction de répartition :

Soit X une variable aléatoire réelle (v.a.r). X est caractérisé par sa fonction de répartition :

F : ℝ → [0,1] et quel que soit x appartenant à ℝ, F(X) = P(X≤x)

Exemple avec Y : Y→ β (n=3 et p =0.5)

Quel que soit k=0,1,2…, n la P(Y=k) = (nk )* pk *(1-p)n-k

P(Y=0) = (0¦3)*(1/2)^0*(1/2)^3=(1/2)^3=1/8

P(Y=1) = (1¦3)*(1/2)^1*(1/2)^2=3(1/2)^3=3/8

P(Y=2) = 3/8

P(Y=3) = 1/8

Y= nombre de « pile » sur 3 lancers :

Si