Correction de devoir.

Correction DS 5

1. 1) Volume d’une boule en cm3 :

V1=[pic 1]42,875=[pic 2]

1. Volume occupé par les trois boules et le vinaigre pour qu’il les recouvre exactement en cm3 :

V2=[pic 3]

1. La hauteur minimale h en cm :

Pour que les boules soient complètement recouvertes, il faut que le volume de vinaigre ajouté à celui des trois boules soit au-moins égal au volume précédent :

[pic 4]

La hauteur minimale h est donc de 5,285 cm

1. 1) a) Le point G n’appartient pas au plan (ABE) qui est aussi le plan (ABC), donc les quatre points A, B, E et G ne sont pas coplanaires et les droites (AB) et (EG) non plus.

b) Le point F n’appartient pas au plan (CDG) qui est aussi le plan (BCD), donc les quatre points F, G, C et D ne sont pas coplanaires, donc les droites (FG) et (CD) non plus.

c) Les droites (EF) et (AD) ont en commun le point F et ne sont pas confondues car E n’appartient pas à (AD), donc ces droites (EF) et (AD) sont sécantes en F.

[pic 5]

2) a) Dans le plan (BCD) la droite (CG) coupe la droite (BD) en un point I qui est aussi  l’intersection de (CG) et (ABD) car la droite (CG) n’est pas contenue dans le plan (ABD) puisque ABCD est un tétraèdre.

b) Les plans (ACG) et (ABD) ont en commun les points A et I et ne sont pas confondus car le point C du plan (ACG) n’est pas dans le plan (ABD) puisque ABCD est un tétraèdre, donc les plans (ACG) et (ABD) sont sécants selon la droite (AI).

  III) 1) - Les plans (ABCD) et (EFGH) sont parallèles, car ce sont deux faces opposées du cube ABCDEFGH ; or si deux plans sont parallèles, tout plan sécant à l’un est sécant à l’autre et les droites d’intersection sont parallèles. Ainsi le plan (GEM) sécant à (EFGH) selon la droite (EG) est sécant au plan (ABCD) selon une parallèle à (EG) ; or les plans (GEM) et (ABCD) ont en commun les points M et N, donc leur droite d’intersection est la droite (MN) qui est donc bien parallèle à (EG).

- Les arêtes verticales [AE] et [CG] sont parallèles et de même longueur, donc le quadrilatère non croisé AEGC est un parallélogramme ; ses côtés opposés [AC] et [EG] sont donc parallèles, donc les droites (AC) et (EG) sont aussi parallèles.

[pic 6]

- Les trois points non alignés B, E et G déterminent un plan auquel n’appartient pas le point D, donc les quatre points B, E, G et D ne sont pas coplanaires, donc les droites (EM) et (DB) ne sont pas coplanaires.

- Comme la droite (EG) est parallèle à la droite (AC) contenue dans le plan (ABCD), cette droite (EG) est parallèle au plan (ABCD) car une droite est parallèle à un plan si elle est parallèle à une droite de ce plan.