Analyser un monument aux morts

haque luge. 2) Évaluer l’intensité de la force F o qui serait nécessaire pour que l’ensemble des luges commence à glisser vers le haut. 3) On applique maintenant une force F dont l’intensité est très supérieure à celle de F o . a) Établir l’expression de l’accélération a que prend l’ensemble. Décrire le mouvement. b) Déterminer la norme T de la tension de la corde entre les luges A et B. c) Évaluer la vitesse v1 de l’ensemble à l’instant t1 (prendre l’origine des temps au moment où le glissement commence). 4) À l’instant t1 la corde entre A et B se rompt. a) Déterminer l’accélération a1 que prend B et caractériser le mouvement. b) Déduire le temps τ écoulé à partir de la rupture de la corde lorsque la luge s’arrête dans la montée et évaluer la distance D parcourue (τ et D seront exprimés en fonction de v1). c) Retrouver l’expression de D en utilisant l’énergie mécanique. Exercice III Les parties 1 et 2 de cet exercice sont indépendantes.

On considère une planète parfaitement sphérique, homogène et dépourvue d’atmosphère. On note Mt sa masse totale, R son rayon et O son centre. On notera G la constante de gravitation. 1) Satellite en orbite circulaire Un engin spatial (E), supposé ponctuel et de masse m, décrit, sous l’effet de la seule force de gravitation, une trajectoire circulaire, de rayon r (> R), autour de cette planète. a) Représenter cette force sur un schéma. Donner, sans démonstration, son expression vectorielle en fonction des données du problème. r b) Justifier le fait que le mouvement est uniforme. Exprimer la norme a de l’accélération en r fonction de la norme V de la vitesse et du rayon r de la trajectoire. c) En déduire la vitesse de l’engin (E) puis la période T du mouvement. d) Calculer l’énergie potentielle de l’engin et en déduire son énergie mécanique en fonction notamment de r. On choisira l’énergie potentielle nulle à l’infini. 2) Étude du champ gravitationnel de la planète a) Énoncer, en une ou deux phrases, le théorème de Gauss pour le champ de gravitation G . Écrire l’équation correspondante en précisant la signification des différentes grandeurs utilisées. Faire un schéma explicatif. b) À l’aide de ce théorème, déterminer le champ de gravitation à l’extérieur de la planète (r > R). On admettra que G est radial, que sa norme ne dépend que de r et on choisira comme surface de Gauss une sphère centrée sur O.

Feuille à rendre avec votre copie

No de place :

Profil et groupe :

Figure 1

y

o M

O

x

Figure 2 B

Ft

A A

θ

Université des Sciences et Technologies de Lille

22 juin 2009

Licence Sciences et Technologies. Unité : Forces-Champs-Énergie

CORRECTION

Exercice I 1) Question de cours a) Coordonnées polaires : ρ = OM et θ = (Ox, OM)

y

r N

r uθ

r T

uρ

● M

r uy

O

ρ θ

r ux

x

r r OM est unitaire. Le vecteur u θ lui est directement b) Base polaire : le vecteur tel que u ρ = OM

orthogonal. Base intrinsèque : le vecteur T est tangent à la trajectoire : ici, il est orienté dans le sens du mouvement. r r Le vecteur normal N est orthogonal à T et dirigé vers le centre de courbure de la trajectoire (vers « l’intérieur »). Dans le repère Oxy, les composantes des vecteurs unitaires de la base des coordonnées polaires s’écrivent :  cos θ   − sin θ  r r r r r r r r uρ =   sin θ  et u θ =  cos θ  ou u ρ = cos θ u x + sin θ u y et u θ = − sin θ u x + cos θ u y        2) Application

a) r du ρ

 − sin θ  r  = u θ et = dθ  cos θ   

r du θ  − cos θ  r =  − sin θ  = − u ρ  dθ  

d OM b) Le vecteur vitesse V(M ) = est la dérivée du rayon vecteur par rapport au temps. D’où : dt r r r du ρ dθ r r r d OM d (ρu ρ ) d (bωt u ρ ) V(M) = = = = bω u ρ + bω t = bω u ρ + (bωt )ω u θ dt dt dt dθ dt

1

en utilisant le fait qu’ici

dθ = ω est constant. dt r r D’où : V(M ) = bω u ρ + bω2 t u θ

2 2

c) La norme du vecteur vitesse vaut : V(M) = Vρ2 + Vθ2 = bω 1+ ω 2t 2 d) On en déduit l’expression du vecteur vitesse dans la base de Frenet : V(M) = bω 1+ ω t T d V (M ) e) Le vecteur accélération a (M ) = est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps : dt r r r r d(bωuρ + bω 2tuθ ) duρ r du a(M) = = bω + bω 2uθ + bω 2t θ dt dt dt r r r r 2r 2 d’où a (M ) = bω(ω u θ ) + bω u θ + bω t (−ω u ρ ) = − bω3 t u ρ + 2bω2 u θ Le mouvement est accéléré si l’accélération tangentielle est dans le même sens que le vecteur

vitesse c’est-à-dire si a (M).V(M) > 0 . Ici ce produit scalaire vaut b 2 ω4 t > 0 . Le mouvement est donc accéléré ce qui est confirmé par le fait que V(M ) , calculée à la question 2c, est une fonction croissante du temps.

Exercice II : Luges 1)

RNA

RNB

T

−T

A

F

y x O

B

F fB

PB

F fA

θ

PA

Poids P = mg (où g = accélération due à la pesanteur), réaction normale du plan R N , frottements

F f , tension T .

2) Dans un référentiel fixe attaché à la surface (ce sera toujours le cas), principe fondamental de la dynamique (PFD) appliqué à l’ensemble des luges (les tensions sont des forces intérieures) : (1) Fo + P A + R NA + FfA + P B + R NB + FfB = 0 car ici accélération a = 0 . Avec frottement statique et à la limite de la mise en mouvement : Ff = µSRN. RN = ? PFD appliqué à l’une des luges, par exemple B :

T + P B + R NB + FfB = 0 . Projection sur Oy : R NB − m B g cos θ = 0 ⇒ R NB = m B g cos θ . De même R NA = m A g cos θ . Projection de (1) suivant Ox orienté dans le sens du mouvement : Fo − m A g sin θ − µ s m A g cos θ − m B g sin θ − µ s m B g cos θ = 0

⇒ Fo = (m A + m B )g[sin θ + µ s cos θ] .

3) F >> Fo ⇒ a ≠ 0 et frottement cinétique. a) F + P A + R NA + FfA + P B + R NB + FfB = (m A + m B ) a

2

Projection suivant Ox : F − m A g sin θ − µ c m A g cos θ − m B g sin θ − µ c m B g cos θ = (m A + m B )a F ⇒a = − g[sin θ + µc cos θ] mA + mB

a = constante > 0, c’est à dire a.v > 0 , donc mouvement uniformément accéléré. b) Luge B seule : T + P B + R NB + FfB = m B a Projection suivant Ox : T − m B g sin θ − µ c m B g cos θ = m B a F T = m B [a + g (sin θ + µ c cos θ )] ⇒ T = mB . mA + mB c) a =constante ⇒ v = at + cste . À t = 0, v = 0 ⇒ cste = 0 ⇒ v1 = at1 .

4) Corde se rompt : a) Luge B seule : P B + R NB + FfB = m B a ' Projection suivant Ox : − m Bg sin θ − µ c m B g cos θ = m B a '

⇒ a ' = −g (sin θ + µ c cos θ)

a’ = constante < 0, c'est-à-dire a'.v < 0 , donc le mouvement est uniformément retardé. b) ⇒ v = a ' t + cste . À t = 0 v = v1 ⇒ cste = v1 ⇒ v = a ' t + v1 . v v1 v=0àt=τ ⇒τ=− 1 = . a ' g (sin θ + µ c cos θ) 1 x = a ' t 2 + v1t + cste' . À t = 0, x = 0 ⇒ cste’ = 0. 2 2 1 1 v2 v1 D = a' τ 2 + v1 τ = − 1 = . 2 2 a' 2g(sinθ + µ c cosθ)

c) Énergie mécanique : E m = E c + E p (énergie cinétique + énergie potentielle) Variation d’énergie mécanique entre deux instants initial et final = somme des travaux des forces

f i non conservatives : E m − E m =

∑T (F ).

nc