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visent à quantifier certaines propriétés physiques d’un matériau (densité, raideur, perméabilité, etc…) pour s’assurer de sa conformité par rapport à un cahier des charges. Les techniques les plus courantes sont maintenant bien rodées et ont été mises au point pour tester des éléments métalliques, donc isotropes et élastiques. L’emploi de plus en plus répandu des matériaux composites, ou encore le développement des procédés d’assemblages par collage qui suppriment vis, boulons ou rivets, forcent les méthodes de CND/END à évoluer pour s’adapter aux forts changements des milieux. En effet, la plupart des matériaux composites sont anisotropes (raideur plus forte dans le sens des fibres par exemple), viscoélastiques (notamment les matrices à base de polymères) et hétérogènes (fibres, plis). La propagation des ondes ultrasonores est par conséquent bien différente par rapport aux métaux, et les techniques ultrasonores classiques s’avèrent souvent inadaptées : déviation des faisceaux par l’anisotropie, atténuation par effet thermoviscoélastique, diffraction par les interfaces entre plis, etc… Il est donc indispensable d’ajuster plusieurs paramètres (fréquence, focalisation, positions des palpeurs, milieu de couplage, etc…) pour adapter les procédés de CND/END existants ou encore de redéfinir de nouveaux procédés. Pour cela, deux approches sont possibles : la pratique avec de

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nombreux palpeurs et appareils, des échantillons calibrés, et des campagnes de mesures très appliquées et systématiques, ou la simulation numérique avec un outil fiable et performant qui permette de faire varier à souhait tout paramètre du procédé de CND/END à moindre coût. C’est cette seconde solution qui est proposée dans cet article. La technique de calcul est basée sur la méthode des éléments finis qui, contrairement aux méthodes analytiques ou semi analytiques, permet de définir des géométries complexes de structures ou de défauts. Pour réduire de manière significative les temps de calculs, les problèmes ne sont pas résolus dans le domaine temporel, mais dans le domaine fréquentiel. De plus, des régions absorbantes sont employées pour supprimer les réflexions généralement indésirables par les bords du domaine maillé. Les simulations peuvent être effectuées en deux dimensions (problèmes plans ou axisymétriques) ou en trois dimensions, selon les cas de figure. L’anisotropie, la viscoélasticité ou encore l’empilement de plusieurs couches de matériaux sont pris en compte dans les modèles. Après une présentation rapide des principes fondamentaux de la méthode, un cas de validation est présenté pour démontrer l’intérêt et la fiabilité de l’approche choisie. Ensuite, des exemples de simulations d’applications de CND ou d’END sont montrés pour afficher quelques possibilités de la méthode.

II.

PRINCIPES ET PARAMETRAGES DES MODELES EF A. Calculs dans le domaine des fréquences

La propagation d’une onde ultrasonore traduit la réponse dynamique du milieu (solide ou fluide) à une excitation qui varie au cours du temps. Par conséquent, l’approche la plus naturelle pour simuler cette réponse consiste à résoudre les équations d’équilibre dynamique du milieu dans le domaine temporel, c’est-à-dire entre un instant initial (démarrage de l’excitation) et un instant final qui tient compte de la durée de propagation prévue entre le point d’excitation et le point d’observation, mais aussi de la durée du signal. Pour cela, il est nécessaire de définir un pas temporel qui, dans les modélisations par éléments finis, sera proportionnel à la taille du maillage et inversement proportionnel à la plus grande vitesse des ondes susceptibles de se propager [1]. Généralement, pour les problèmes de propagation ou de diffraction d’ondes ultrasonores (quelques MHz) dans des solides (vitesses de l’ordre de quelques mm/µs), le pas temporel sera souvent inférieur 0.05 µs car la taille des éléments ne peut guère dépasser 1/7ème de la plus petite longueur d’onde. Pour des domaines temporels souvent supérieurs à 200 µs, le nombre d’itérations en temps est alors facilement de l’ordre de plusieurs milliers. Les temps de calculs peuvent donc être assez longs (bien sûr cela dépend de la machine et du solveur utilisés), et le changement de données d’entrée (taille du capteur, fréquence, etc…) pour faire des études paramétrées devient difficile. Une alternative consiste à résoudre les équations d’équilibre dynamique non pas en temps, mais dans le domaine des fréquences. En effet, un signal temporel défini par plusieurs milliers de points peut également être défini par un faible nombre (quelques centaines) de composantes fréquentielles. Les amplitudes complexes du spectre en fréquence contiennent la même information que le signal temporel. À titre d’exemple, la figure 1 montre un signal temporel riche en information défini sur 2010 points, et son spectre en fréquence comportant exactement la même information, mais défini sur seulement 100 points. Ainsi, la résolution en fréquence du problème peut être effectuée avec beaucoup moins d’itérations qu’en temps, et le gain en durée de calcul est très significatif. L’autre avantage de travailler dans le domaine en fréquence est que cela va permettre de définir de manière simple et réaliste les propriétés absorbantes des matériaux. En effet, les modules de rigidité deviennent

′′ ′ complexes, Cij = Cij + I Cij avec I = −1, leurs parties réelles représentant la raideur du matériau et leurs parties imaginaires son pouvoir absorbant dû à la viscoélasticité

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2

(polymères) ou à de la diffusion interne (composites, béton,…). Cela évite le recours à des modèles du type ressorts-amortisseurs ou à des fonctions de relaxation, requis pour les résolutions en temps avec la méthode par éléments finis. De plus, des techniques ultrasonores largement éprouvées existent pour mesurer les modules de rigidité complexes [2, 3] qui servent alors de données d’entrée pour les simulations numériques [4].

1

(a)

Amplitude spectrale (u.a.)

1

(b)

Amplitude (u.a.)

0

0

2010 points

-1 0

100 points

-1 0.75 1 1.25

Temps (µs)

200

Frequence (MHz)

figure 1 – Correspondance entre (a) un signal temporel de fréquence centrale 1MHz défini par 2010 échantillons et (b) son spectre défini par 100 composantes fréquentielles avec (⎯) partie réelle, (- - -) partie imaginaire et (•••) module du spectre. Les deux représentations contiennent la même information..

B.

Régions absorbantes

La définition simple des caractéristiques viscoélastiques des matériaux, par des modules de rigidité complexes, a permis de mettre au point des régions absorbantes (notées RA par la suite). Placées aux extrémités des domaines maillés, elles suppriment les réflexions par les bords qui sont souvent indésirables lorsqu’on s’intéresse à la propagation dans le milieu ou à la diffraction par un défaut [5], pour mettre au point des procédés de CND/END. Lors de calculs en temps, on peut avoir recours à des régions de type PML (Perfectly matched layers) mais celles-ci n’absorbent pas tous les types de modes ultrasonores, et entraînent parfois des instabilités numériques si l’on ne réduit pas le pas temporel [6]. Les régions absorbantes utilisées dans cette étude sont définies à partir d’une augmentation progressive de la viscoélasticité du matériau, selon la loi donnée par la relation suivante :

⎛ x − x ⎞3 ′ ′ {Cij′ }RA = α Cij ⎜ L RA ⎟ ⎝ RA ⎠

où

Eq. 1

viscoélasticité atteint à l’extrémité de la RA, x est la position le long de la RA, x RA est la valeur de x au début de la RA et LRA est la longueur de la RA. Les parties réelles des modules de viscoélasticité dans la RA sont les mêmes que dans le reste du domaine, de manière à ne pas créer de rupture d’impédance acoustique forte qui causerait la réflexion des ondes. C’est pour cette même raison que les parties imaginaires des modules sont augmentées progressivement suivant la loi cubique donnée par Eq. 1.

′ {Cij′ }RA

est la partie imaginaire des modules dans la RA, α est le taux maximal de

3

C.

Equation, maillage et données d’entrée

Pour traiter un problème de propagation d’ondes ultrasonores dans un solide, il est nécessaire de définir et de résoudre convenablement