Arithmétique : multiples, diviseurs, nombres premiers
Cours : Arithmétique : multiples, diviseurs, nombres premiers. Rechercher de 53 000+ Dissertation Gratuites et MémoiresPar Esteban You • 12 Mai 2024 • Cours • 994 Mots (4 Pages) • 82 Vues
Arithmétique Multiples – Diviseurs – Nombres premiers | 1 Nombres Calculs |
I. Multiples et Diviseurs
Soit a et b deux entiers positifs ou nuls.
On dit que « a est un multiple de b » s’il existe un entier k tel que : a = b × k On dit également que « b est un diviseur de a » ou « a est divisible par b ».
Exemples
24 = 4 × 6
24 peut s’écrire sous la forme 4 × ….
Donc 24 est un multiple de 4. 4 est un diviseur de 24.
24 est divisible par 4.
24 = 12 × 2
24 peut s’écrire sous la forme 12 × ….
Donc 24 est un multiple de 12. 12 est un diviseur de 24.
24 est divisible par 12.
Savoir Faire : Déterminer les diviseurs d’un nombre entier Diviseurs de 12 : 1 – 2 – 3 – 4 – 6 – 12
Diviseurs de 63 : 1 – 3 – 7 – 9 – 21 – 63
Critères de divisibilité
Divisibilité par 2, par 5 et par 10… on s’occupe du chiffre des unités.
On teste tous les entiers à partir de 1… 12 = 1 × 12
12 = 2 × 6 …
∙ Un nombre entier est divisible par 2 lorsqu’il est pair, c’est-à-dire lorsque son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
∙ Un nombre entier est divisible par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5. ∙ Un nombre entier est divisible par 10 lorsque son chiffre des unités est 0.
Divisibilité par 3 et par 9… on s’occupe de la somme des chiffres du nombre.
∙ Un nombre entier est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3. ∙ Un nombre entier est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Savoir Faire : Utiliser les critères de divisibilité
∙ 2 785 est-il divisible par 5 ?
Le chiffre des unités de 2785 est 5 donc 2785 est divisible par 5.
∙ 5 246 est-il divisible par 3 ?
5 + 2 + 4 + 6 = 17
17 ’est pas divisible par 3 donc 5 246 n’est pas divisible par 3.
∙ 7 821 est-il divisible par 9 ?
7 + 8 + 2 + 1 = 18
18 est divisible par 9 donc 7 821 est divisible par 9.
II. Nombres premiers
Définition : Un nombre premier est un nombre entier qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Nombres premiers à connaître :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, … sont des nombres premiers.
Savoir Faire : Reconnaître les nombres premiers Deux méthodes : Lister tous les diviseurs
Ou Repérer un 3ème diviseur (en plus de 1 et du nombre)
Dans une évaluation, il faudra énoncer la définition d’un nombre premier.
1 est-il un nombre premier ?
Un nombre premier est un nombre entier qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Diviseur de 1 : 1 Donc 1 a un seul diviseur. Donc ce n’est pas un nombre premier. 9 est-il un nombre premier ?
Un nombre premier est un nombre entier qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Diviseurs de 9 : 1 – 3 – 9
9 n’a pas exactement deux diviseurs.
Donc 9 n’est pas un nombre premier.
4 371 est-il un nombre premier ?
Un nombre premier est un nombre entier qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
On va essayer de trouver un diviseur de 4 371 autre que 1 et lui-même.
Un nombre entier est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3.
4 + 3 + 7 + 1 = 15 15 est divisible par 3. Donc 4371 est divisible par 3.
4371 a donc au moins trois diviseurs : 1, 3 et lui-même. Donc 4371 n’est pas un nombre premier.
Propriété (Admise) : Un nombre entier supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de facteurs premiers.
Cette décomposition est unique, à l’ordre près.
Remarques : 2 × 3 × 3 est une décomposition de 18 en nombres premiers. 2 × 32 est aussi une décomposition de 18 en nombres premiers.
...