Arithmétique : multiples, diviseurs, nombres premiers

I. Multiples et Diviseurs  

Soit a et b deux entiers positifs ou nuls.  

On dit que « a est un multiple de b » s’il existe un entier k tel que : a = b × k On dit également que « b est un diviseur de a » ou « a est divisible par b ».

Exemples 

24 = 4 × 6

24 peut s’écrire sous la forme 4 × ….

Donc 24 est un multiple de 4. 4 est un diviseur de 24.

24 est divisible par 4.

24 = 12 × 2

24 peut s’écrire sous la forme 12 × ….

Donc 24 est un multiple de 12. 12 est un diviseur de 24.

24 est divisible par 12.

Savoir Faire : Déterminer les diviseurs d’un nombre entier Diviseurs de 12 : 1 – 2 – 3 – 4 – 6 – 12

Diviseurs de 63 : 1 – 3 – 7 – 9 – 21 – 63  

Critères de divisibilité 

Divisibilité par 2, par 5 et par 10… on s’occupe du chiffre des unités.

On teste tous les  entiers à partir de 1… 12 = 1 × 12

12 = 2 × 6 …

∙ Un nombre entier est divisible par 2 lorsqu’il est pair, c’est-à-dire lorsque son chiffre  des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.

∙ Un nombre entier est divisible par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5. ∙ Un nombre entier est divisible par 10 lorsque son chiffre des unités est 0.

Divisibilité par 3 et par 9… on s’occupe de la somme des chiffres du nombre.

∙ Un nombre entier est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3. ∙ Un nombre entier est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Savoir Faire : Utiliser les critères de divisibilité

∙ 2 785 est-il divisible par 5 ?  

Le chiffre des unités de 2785 est 5 donc 2785 est divisible par 5.

∙ 5 246 est-il divisible par 3 ?

5 + 2 + 4 + 6 = 17

17 ’est pas divisible par 3 donc 5 246 n’est pas divisible par 3.

∙ 7 821 est-il divisible par 9 ?  

7 + 8 + 2 + 1 = 18

18 est divisible par 9 donc 7 821 est divisible par 9.

II. Nombres premiers 

Définition : Un nombre premier est un nombre entier qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

Nombres premiers à connaître :  

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, … sont des nombres premiers.

Savoir Faire : Reconnaître les nombres premiers Deux méthodes : Lister tous les diviseurs

Ou Repérer un 3ème diviseur (en plus de 1 et du nombre)

Dans une évaluation, il faudra énoncer la  définition d’un nombre premier.

1 est-il un nombre premier ?

Un nombre premier est un nombre entier qui a  exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Diviseur de 1 : 1 Donc 1 a un seul diviseur. Donc ce n’est pas un nombre premier. 9 est-il un nombre premier ?

Un nombre premier est un nombre entier qui a  exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Diviseurs de 9 : 1 – 3 – 9  

9 n’a pas exactement deux diviseurs.

Donc 9 n’est pas un nombre premier.

4 371 est-il un nombre premier ?

Un nombre premier est un nombre entier qui a  exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

On va essayer de trouver un diviseur de 4 371 autre  que 1 et lui-même.

Un nombre entier est divisible par 3 lorsque la somme de  ses chiffres est divisible par 3.

4 + 3 + 7 + 1 = 15 15 est divisible par 3. Donc 4371 est divisible par 3.

4371 a donc au moins trois diviseurs : 1, 3 et lui-même. Donc 4371 n’est pas un nombre premier.

Propriété (Admise) : Un nombre entier supérieur ou égal à 2 se décompose en  produit de facteurs premiers.  

Cette décomposition est unique, à l’ordre près.

Remarques : 2 × 3 × 3 est une décomposition de 18 en nombres premiers. 2 × 32 est aussi une décomposition de 18 en nombres premiers.