Bac 2013

er la probabilit´ qu’il ait e e e perdu la premi`re. e 3. Calculer la probabilit´ que le joueur gagne au moins une partie sur les e trois premi`res parties. e 3 1 4. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, pn+1 = pn + . 5 5 5. Montrer par r´currence que, pour tout entier naturel n non nul, e n 3 13 1 . pn = − 4 4 5 6. D´terminer la limite de la suite (pn ) quand n tend vers +∞. e 3 7. Pour quelles valeurs de l’entier naturel n a-t-on : − pn < 10−7 ? 4

Polyn´sie Juin 2011 e Partie A : Restitution organis´e de connaissances e On supposera connus les r´sultats suivants : e • Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b].

b b

b

Pour tous r´els α et β, e

a

[αu(x)+βv(x)]dx = α

a

u(x)dx+β

a

v(x)dx.

•

Si u d´signe une fonction continue sur un intervalle [a ; b] et U une e primitive de u sur [a ; b]

b

alors

a

u(x) dx = [U (x)]b = U (b) − U (a). a

En utilisant la formule de d´rivation d’un produit de deux fonctions d´rivables, e e a e e ` d´riv´es continues sur un intervalle [a ; b], d´montrer la formule d’int´gration e e par parties. Partie B On consid`re la fonction f d´finie sur ]0 ; +∞[ par e e f (x) = x2 ln x. La courbe (C) repr´sentative de la fonction f dans le plan muni d’un rep`re e e → → − − orthonormal O, ı ,  est donn´e en annexe. e

2

y

1

-1

O

1

2

x

1.

a. D´terminer la limite de f en +∞. e ´ b. Etudier les variations de f sur ]0 ; +∞[.

2. Pour cette question, toute trace de recherche, mˆme incompl`te, sera prise e e en compte dans l’´valuation. e D´montrer qu’il existe une tangente unique ` la courbe (C) passant par e a O. Pr´ciser une ´quation de cette tangente. e e 3. On consid`re le solide obtenu par rotation autour de l’axe (Ox) de la r´gion e e plane d´limit´e par la courbe (C), l’axe (Ox) et les droites d’´quations e e e 1 x = et x = 1. e On note V une mesure, exprim´e en unit´s de volume, du volume de ce e e solide et on admet que :

1

V =

1 e

π[f (x)]2 dx.

a. Montrer qu’une primitive de la fonction x −→ x4 ln x sur ]0 ; +∞[ x5 est la fonction x −→ (5 ln x − 1). 25 37 π 2− 5 . b. En d´duire, ` l’aide d’une int´gration par parties, que : V = e a e 125 e

3

Liban Juin 2007 Soient f et g les fonctions d´finies sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : e f (x) = ln x et g(x) = (ln x)2 . On note C et C ′ les courbes repr´sentatives respectives de f et g dans un rep`re e e orthogonal. Les courbes C et C ′ sont donn´es en annexe. e 3

2

1

j

0

i

1

2

3

4

5

-1

-2 1. ´ a. Etudier le signe de (ln x)(1 − ln x) sur ]0 ; +∞[.

2. Pour x appartenant ` ]0 ; +∞[, M est le point de C d’abscisse x et N est a e le point de C ′ de mˆme abscisse. a. Soit h la fonction d´finie sur ]0 ; +∞[ par h(x) = f (x) − g(x). e ´ Etudier les variations de la fonction h sur ]0 ; +∞[.

b. En d´duire la position relative des deux courbes C et C ′ sur ]0 ; +∞[. e

b. En d´duire que sur l’intervalle [1 ; e], la valeur maximale de la distance e √ M N est obtenue pour x = e. d. En d´duire que, sur ]0 ; 1[ ∪ ]e ; +∞[, il existe deux r´els a et b e e (a < b) pour lesquels la distance M N est ´gale ` 1. e a

e

c. R´soudre dans ]0 ; +∞[ l’´quation (ln x)2 − ln x = 1. e e

3.

` a. A l’aide d’une int´gration par parties, calculer e

1

ln x dx.

b. V´rifier que la fonction G d´finie sur ]0 ; +∞[ par G(x) = x (ln x)2 − 2 ln x + 2 e e est une primitive de la fonction g sur ]0 ; +∞[. c. On consid`re la partie du plan d´limit´e par les courbes C, C et les e e e droites d’´quations x = 1 et x = e. e D´terminer l’aire A en unit´s d’aire de cette partie du plan. e e

4

Nouvelle - Cal´donie Mars 2011 e Partie A : Restitution organis´e de connaissances e On utilisera le r´sultat suivant : les solutions de l’´quation diff´rentielle y ′ = ay e e e o` a ∈ R sont les fonctions g d´finies sur R par g(x) = Keax o` K ∈ R. u e u Le but de cette partie est de d´terminer les solutions de l’´quation diff´rentielle e e e (E) y ′ = ay + b o` a ∈ R∗ et b ∈ R. u 1. D´montrer que la fonction u d´finie sur R par u(x) = − e e de (E).

b est une solution a

2. Soit f une fonction d´finie et d´rivable sur R. D´montrer l’´quivalence e e e e suivante : f est solution de (E) ⇐⇒ f − u est solution de l’´quation e diff´rentielle y ′ = ay. e e e e 3. En d´duire toutes les solutions de l’´quation diff´rentielle (E). Partie B Un cycliste roule sur une route descendante rectiligne et tr`s longue. On note