Commerce International Awb

ée.

La loi de Poisson (ou loi des évènements rares) est un modèle probabiliste qui convient particulièrement au phénomène de comptage d’évènements rares situés dans le temps ou dans l’espace.

• Exemple dans le temps :

le nombre de particules émises par une substance radioactive, le nombre d’erreurs téléphoniques enregistrées par une centrale téléphonique, le nombre d’accidents intervenus sur une autoroute par jour, ….

• Exemple dans l’espace :

Le nombre de bactéries contenues dans une préparation microscopique, le nombre d’éléphants dans une jungle,…

Définition :

En statistique, la loi de Poisson de paramètre λ, ou loi des événements rares, correspond au modèle suivant:

Sur une période T, un événement arrive en moyenne λ fois. On appelle X la variable aléatoire déterminant le nombre de fois où l'événement se produit dans la période T. X prend des valeurs entières : 0, 1, 2, ...

Cette variable aléatoire suit une loi de probabilité définie par

[pic] Pour tout entier naturel k,

Où

• e est la base de l'exponentielle (2,718...)

• k! est la factorielle de k

• λ est un nombre réel strictement positif

C'est la loi de Poisson de paramètre λ

Par exemple, si un certain type d'évènements se produit en moyenne 4 fois par minute, pour étudier le nombre d'évènements se produisant dans un laps de temps de 10 minutes, on choisit comme modèle une loi de Poisson de paramètre λ = 10× 4 = 40

Calcul de la probabilité de l’événement k :

Ce calcul peut se faire de manière déductive en travaillant sur une loi binomiale de paramètres (T; λ/T). Pour T grand, on démontre que la loi binomiale converge vers la loi de Poisson.

Il peut aussi se faire de manière inductive en étudiant sur l'intervalle [0; T] les fonctions Fk(t)= probabilité que l'événement se produise k fois sur l'intervalle de temps [0 ; t]. En utilisant la récurrence et du calcul différentiel, on parvient à retrouver les formules précédentes.

Exemple 1 :

Sur une autoroute, il y a en moyenne un accident par semaine.

Vous étiez le cadre d'astreinte la semaine dernière, et il y a eu 4 accidents ! Quelle est la probabilité de cet événement ?

Solution :

Soit X la loi de survenance des accidents. On a bien

▪ un seul évènement arrive à la fois,

▪ le nombre d’évènements se produisant pendant une période ne dépend que de la durée de cette période,

▪ les évènements sont indépendants.

Loi de poisson de paramètre λ = 1 (qui représente le nombre moyen d’évènements par unité de temps).

Donc P(X=4) = (e-1 * 14)/(4!) ~ 0,0153 = 1,53 %

Espérance, Variance, Ecart type et la fonction caractéristique :

L'espérance d'une loi de Poisson est λ.

Si [pic] suit une loi de poisson de paramètre [pic], soit [pic].

Alors, on a par définition que

[pic]

et que:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

La variance d'une loi de Poisson est λ.

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

V(X) = λ(λ + 1) − λ2

V(X) = λ

Son écart type est donc [pic]

La fonction caractéristique de la loi de poisson est : [pic]

Démonstration :

La fonction caractéristique d'une loi X se calcul par[pic]. Ainsi on obtient :

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Domaine d’application de la loi de poisson :

Le domaine d'application de la loi de Poisson a été longtemps limité à celui des événements rares comme les suicides d'enfants, les arrivées de bateaux dans un port ou les accidents dûs aux coups de pied de cheval dans les armées (étude de Ladislaus Bortkiewicz).

Mais depuis quelques décennies son champ d'application s'est considérablement élargi. Actuellement, on l'utilise beaucoup dans les télécommunications (pour compter le nombre de communications dans un intervalle de temps donné), le contrôle de qualité statistique, la description de certains phénomènes liés à la désintégration radioactive (la désintégration des noyaux radioactifs suivant, par ailleurs, une loi exponentielle de paramètre noté aussi lambda), la biologie, la météorologie, …

Diagrammes en bâtons :

Comme toute loi de probabilité discrète, une loi de Poisson peut être représentée par un diagramme en bâtons. Ci-dessous sont représentés les diagrammes en bâtons des lois de Poisson de paramètres 1, 2 et 5.

[pic]

Diagramme en bâtons de loi de poisson de paramètre 1

[pic]

Diagramme en bâtons de loi de poisson de paramètre 2[pic]

Diagramme en bâtons de loi de poisson de paramètre 5

Lorsque le paramètre λ de la loi de Poisson devient grand, (pratiquement lorsqu'il est supérieur à 5), son diagramme en bâton est correctement approché par l'histogramme d'une loi normale d'espérance et de variance égales à λ (l'intervalle de classe étant égal à l'unité). Cette convergence était mise à profit, avant que les moyens informatiques ne se généralisent, pour utiliser la loi normale en lieu et place de la loi de Poisson dans certains tests.

Approximation de la loi de poisson par la loi normale :

Quand

▪ la probabilité binomiale p est très faible (en pratique p50),

▪ et que np 50) et p est petit (p < 0.1), on peut approcher la loi binomiale par une loi de Poisson de paramètre λ = 100 * 0,03 = 3

La probabilité recherchée est dans ce cas :

[pic]

Additivité de deux variables aléatoires de Poisson indépendantes :

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois de Poisson de paramètres λ et μ, alors X+Y est une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre λ + λ’.

Démonstration :

[pic]

Et donc, X + Y suit une loi de Poisson de paramètre λ + λ’.

Application :

Une compagnie d’assurance a organisée la gestion d’un certain type de risque sur la base d’une distinction géographique qui reflète une différence dans l’intensité de ce risque.

Pour la région du nord, on peut considérer que le nombre de sinistres enregistrés au cours d’une semaine suit une loi de poisson de paramètre 3. Pour la région du sud totalement