Dérivation globale

CHAP. IV : DÉRIVATION GLOBALE

I ) Dérivées des fonctions usuelles :

Définition :

Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si, pour tout réel x de I, le nombre dérivé f ' ( x ) existe. La fonction dérivée de f sur I est la fonction f ' : x  f ' ( x ) définie sur I.

Propriété :

* Toute fonction polynôme est dérivable sur ℝ.

* Toute fonction rationnelle est dérivable sur tout intervalle inclus dans son ensemble de définition.

Tableau des dérivées des fonctions usuelles :

FONCTION f

FONCTION DÉRIVÉE f '

REMARQUES

x  k avec k : constante

x  0

x∈ℝ

x  m x + p

x  m

x∈ℝ

x  x

2

x  2 x

x∈ℝ

x  x

n

x  n x

n–1

n ∈ ℕ*, x ∈ ℝ

1

x 

x

x 

1 2 x

x∈]–∞; 0[∪]0;+∞[

x 

√

x

1

x 

2

√

x

x∈]0;+∞[

x  | x |

x  – 1 si x < 0 et x  1 si x > 0

x∈ℝ

Démo : A l’aide du nombre dérivé de f en a, démontrer les formules précédentes.

Ex 1 : Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes :

1 ) f : x  x 5 définie sur ℝ 2 ) f : x  – 6 x + 23 définie sur ℝ

Ex 2 : Montrer que la fonction valeur absolue et la fonction racine carrée ne sont pas dérivable en 0.

II ) Opérations sur les fonctions dérivées :

Propriété :

* Soient k un nombre réel et u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Alors les fonctions k × u, u + v, u × v sont dérivables sur I et :

*(k×u)'=k×u'

1

*(u+v)'=u'+v'

*

(

u

×

v

)

'

=

u

'

×

v

+

u

×

v

'

* Si v ne s'annule pas sur I les fonctions

et

u

v

sont dérivables sur I et :

v

' 2 ( v 1 ) = − v v' ,

' ( v u ) = u' × v v − 2 u × v ' * Soit g une fonction dérivable sur un intervalle I. Pour tout réel x tel que m x + p appartient à I, la fonction définie par f ( x ) = g ( m x + p ) est dérivable sur I et f ’ ( x ) = m × g ’ ( m x + p )

La propriété précédente doit être connue mais, en application, on lui préférera :

* Soit n un entier naturel non nul et u une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors la fonction u n est dérivables sur I et ( u n ) ' = n × u ' × u n – 1

* Soit u une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I.

u'

Alors la fonction

√

u est dérivables sur I et

√ u

'=

2

√

u

Ex 3 : Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes :

1 ) x  – 8 x

−7 x 2 définie x 2 +3

)

x



sur