Bac S Juin 2011 Asie

× (−2) = 0,

De même, T est le milieu du segment [KC] et donc (en notant k l’affixe du point K) t= k+c −2 − 6i + 4 = = 1 − 3i. 2 2

7 7 L’affixe du point S est − + i et l’affixe du point T est 1 − 3i. 2 2 π b) C est l’image de B par la rotation de centre U et d’angle . Donc c = u + eiπ/2 (b − u) = u + i(b − u) = (1 − i)u + ib 2 puis u= c − ib 4 − i(5i) 9(1 + i) 9 + 9i 9 9 = = = 2 = + i. 1−i 1−i (1 − i)(1 + i) 1 + (−1)2 2 2 L’affixe du point U est − → c) Les coordonnées du vecteur AU sont 13 9 , 2 2 − − → → AU.ST = 9 9 + i. 2 2 9 13 . Donc, ,− 2 2

− → et les coordonnées du vecteur ST sont 13 2 × 9 9 13 + × − 2 2 2 = 0,

− − → → 4) On sait que JC, AU = arg

− → − → et donc les vecteurs AU et ST sont orthogonaux ou encore la droite (AU) est la hauteur issue de U du triangle STU. u−a c−j [2π]. Or 9 9 13 9 + i − (−2) + i u−a 2 2 2 = 1 × (13 + 9i)(11 + 2i) = 1 × 143 + 26i + 99i − 18 = 1 × 125 + 125i = 1 (1 + i). = = 2 c−j 4 − (−7 + 2i) 11 − 2i 2 (11 − 2i)(11 + 2i) 2 112 + (−2)2 2 125 2

Par suite, u−a 1 = √ c−j 2 On en déduit que arg u−a c−j = 1 1 √ +√ i 2 2 1 π π = √ cos + i sin 4 4 2 1 = √ eiπ/4 . 2

π [2π] ou encore 4 − − → → π JC, AU = [2π]. 4

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− → − → 5) a) Le vecteur AV a pour coordonnées (1, 248; 0, 864) et le vecteur AU a pour coordonnées (6, 5; 4; 5). → − → − → − → 6, 5 6, 5 − 6, 5 AV = AU. On en déduit que les vecteurs AU et AV sont Or × 1, 248 = 6, 5 et × 0, 864 = 4, 5 et donc 1, 248 1, 248 1, 248 colinéaires ou encore que les points A, V et U sont alignés. − − → → π b) D’après la question 4), JC, AU = [2π]. Comme le point V appartient aux segments [JC] et [AU], on a aussi 4 − − → → π VC, VU = [2π] puis CVU = 45◦ . 4 D’après la question 2), les segments [BK] et [JC] sont perpendiculaires. Il en est de même des segments [VC] et [VB]. Puisque le point B est de l’autre côté de C par rapport à la droite (VU), on a UVB = CVB − CVU = 90 − 45 = 45◦ . Ainsi, la droite (VU) est la bissectrice de l’angle BVC et, puisque les points A, V et U sont alignés, la droite (AU) est la bissectrice de l’angle BVC. N

I

B U S M

J

V A C

T

K

L

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