Maths - Equations De Droites Et Systèmes

5) et C(4 ;8). Les points A, B et C sont-ils alignés ? et et sont et . sont

sont sécantes.

Exercices types : 1. Etudier la position relative de deux droites : Dans un repère, on donne les points A(1 ;-1), B(3 ;5), C(2 ;7), D(-1 ;-2), E(2 ;-1) et F(-1 ;5) Etudier la position relative des droites (AB) et (CD) puis (AB) et (EF) 2. Déterminer le point d’intersection de deux droites : Dans un repère, d et d’ sont les droites d’équations et a. Vérifier que d et d’ sont sécantes. b. Déterminer les coordonnées du point d’intersection A de d et d’. III] SYSTEMES D’EQUATIONS 1. Système de deux équations à deux inconnues Un système d’équations linéaires à deux inconnues est de la forme : . Résoudre un tel système, c’est trouver tous les couples équations. 2. Nombre de couples solutions Soit le système Si Si solution.

ax by c où a, b, c, a’, b’, c’ sont six réels donnés. a ' x b' y c' ax by c avec a ' x b' y c'

.

vérifiant en même temps ces deux

alors le système admet un unique couple solution. alors le système admet soit une infinité de solutions, soit aucune

Preuve : Comme

et

(S) équivaut à .

. Ce sont les équations de deux droites d1

et d2 de coefficient directeurs respectifs –

Si – , les coefficients directeurs sont distincts, donc d1 et d2 sont sécantes en un point A de coordonnées (xA ; yA), solution unique du système (S). Si – , alors d1 et d2 sont strictement parallèles, donc le système (S) n’admet aucun couple (x, y) solution. Si – , alors d1 et d2 sont confondues, donc tous les couples de réels (x,y), coordonnées des points de la droite d1 sont solutions du système (S).

Remarque : la condition – 3. Interprétation graphique

équivaut à

Résoudre le système défini précédemment revient à déterminer les coordonnées des points communs à d et à d’.

Exemple : Soit le système (S) suivant 1. Vérifier que le système (S) a un unique couple solution. 2. Résoudre graphiquement ce système. 4. Résolution de système Résoudre le système précédent en utilisant la méthode par substitution et la méthode par combinaison. Exemple : Soit le système (S) suivant Vérifier que le système admet un unique couple solution et le résoudre par substitution. Exemple : Soit le système (S) suivant Vérifier que le système admet un unique couple solution et le résoudre par combinaison.

Exemple : Systèmes particuliers  Système dont l’ensemble des solutions est vide : 1. Résoudre le système suivant 2. Mettre en évidence graphiquement la solution obtenue  Système dont l’ensemble des solutions est infini : Résoudre le système suivant 5. Mettre une situation sous la forme d’un système Exemple 1: Une usine, fabriquant des torchons et des serviettes décide de les vendre par lots : - Lot A : 9 torchons et 6 serviettes - Lot B : 2 torchons et 12 serviettes Elle a en stock 3200 torchons et 4800 serviettes. a) Combien de lots de chaque sorte doivent être vendu pour épuiser le stock ? b) Si le lot A est vendu 20€ et le lot B 15€, calculer le chiffre d’affaires total. Soit x le nombre de lots A à vendre pour épuiser le stock. Soit y le nombre de lots B à vendre pour épuiser le stock. La situation du problème se traduit par le système suivant : .

Exemple 2 : Une petite entreprise artisanale s’est spécialisée dans la fabrication de deux jeux en bois : des toupies et des bilboquets. La fabrication à l’aide d’un tour à bois, demande