Livret Dnb

· × 2 = 1 024

10 facteurs

Cas particulier : les puissances de 10 Si n est un nombre entier positif, 10n = 1 00 . . . 0 et 10−n = 0, 0 . . . 0 1

n zéros n zéros 1 Exemples : • 105 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100 000 • 10−4 = 104 = 10 1 = 0, 000 1 000 Opérations sur les puissances Si a est un nombre non nul quelconque, n et p deux nombres entiers (positifs ou négatifs) : 1 Multiplication : a n × a p = a n+p Inverse : n = a −n a an n−p Division : p = a Exponientiation : (a n )p = a n×p a

Exemple :

74×2 × 7−2 78 × 7−2 78−2 76 = = 4 = 4 = 76−4 = 72 = 49 74 74 74 7 7 Propriétés Si a et b sont des nombres non nul quelconque, n un nombre entier (positif ou a n an négatif) : (a × b)n = a n × b n = n et b b × 7−2 = −3 2

3

74

2

Exemples : • 204 = (2 × 10)4 = 24 × 104 = 16 × 1 000 = 16 000 •

=

(−3)3 −27 = 23 8

Ecriture scientifique Tout nombre décimal peut s’écrire de manière unique sous la forme a × 10n , où a est un nombre décimal compris entre 1 et 10 (10 exclus), et où n est un nombre entier relatif. Exemples : • 752 000 = 7, 52 × 105 • 0, 005 1 = 5, 1 × 10−3 • 21 × 103 = 2, 1 × 104

Un exercice-type : 70 × 103 × 2 × 10−5 Donner l’écriture décimale et scientifique du nombre A = 2, 8 × 10−4 70 × 103 × 2 × 10−5 70 × 2 103 × 10−5 140 10−2 × × = = = 50×102 = 5 000 = 5×103 A= 2, 8 × 10−4 2, 8 10−4 2, 8 10−4

R ACINES CARRÉES

Définition Soit a un nombre positif ; il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à a. Ce nombre est appelé racine carrée de a, et se note a. Exemples : • 9 = 3 • 25 = 5 • 100 = 10 Les nombres dont la racine carrée est un nombre entier sont appelés carrés parfaits ; en voici la liste des quinze premiers : a 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Propriétés • Pour tout nombre a positif, a = a • Pour tout nombre a, a 2 = a si a est positif, a 2 = −a si a est négatif • Pour tous nombres a et b positifs, a × b = a × b • Pour tous nombres a et b positifs (b = 0), 7 =7 900 =

2 2 a b 2

=

a b

Exemples : • • • 42 = 4 • (−5)2 = 5 •

9 16

= •

9 16

=

3 4

•

16 100 2

48 3

=

16 100 2

48 3

=

4 10

16 = 4 = 0, 4

9 × 100 =

9 × 100 = 3 × 10 = 90

0, 16 =

2

=

=

• 5 3 = 5 × 3 = 15 • 50 = 25 × 2 = 25 × 2 = 5 2

Attention ! En général, a + b = a + b, comme le montre l’exemple suivant : 16 + 9 = 4 + 3 = 7 mais 16 + 9 − 25 = 5

• 2 6 = 2 × 6 = 4 × 6 = 24 • 2 × 18 = 2 × 18 = 36 = 6

Utiliser les identités remarquables : 2 2 3 + 2 5 = (3)2 + 2 × 3 × 2 5 + 2 5 = 9 + 12 5 + 20 = 29 + 12 5 Eliminer le radical du dénominateur d’une écriture fractionnaire : 2+1 10 × 5 10 5 1 × ( 2 + 1) 10 1 =2 5 = = = = • • = 2 5 5 5× 5 2 − 1 ( 2 − 1)( 2 + 1) 2 − 12 Simplifier une expression contenant des radicaux : Ecrire sous la forme a 3 l’expression 75 − 6 27 + 7 300 75 − 6 27 + 7 300 = 25 × 3 − 6 9 × 3 + 7 100 × 3 = 5 3 − 6 × 3 3 + 7 × 10 3 = 5 3 − 18 3 + 70 3 = (5 − 18 + 70) 3 = 57 3

2+1 1

A RITHMÉTIQUE

Diviseur, multiple Soient a et b deux nombres entiers positifs non nuls. On dira que a est un diviseur de b, ou que b est divisible par a, ou encore que b est un multiple de a s’il existe un nombre entier k tel que b = k × a Exemples : • 15 est un multiple de 3 (car 15 = 5 × 3) • 42 est divisible par 7 Critères de divisibilité • Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par 2, 4, 6, 8 ou 0. • Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3. • Un nombre est divisible par 4 si ses deux derniers chiffres forment un multiple de 4. • Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5. • Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9. Exemples : • 180 est divisible par 2, 3, 4, 5 et 9 • 105 est divisible par 3 et 5 Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) Si a et b sont deux nombres entiers positifs, on note PGCD(a ;b) le plus grand diviseur qui soit commun à a et à b. Déterminer le PGCD de deux nombres en écrivant la liste de leurs diviseurs : On cherche PGCD(72 ;40). On écrit la liste complète des diviseurs de ces deux nombres : Les diviseurs de 40 sont 1, 2, 4, 5, 8 , 10, 20 et 40. Ceux de 72 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8 , 9, 12, 18, 24, 36 et 72. On en déduit que PGCD(72 ;40)=8 Déterminer le PGCD de deux nombres par soustractions successives : On cherche PGCD(72 ;40). 72 − 40 = 32 40 − 32 = 8 32 − 8 = 24 24 − 8 = 16 16 − 8 = 8 8 − 8 = 0 On a donc PGCD(72 ;40)=8 Déterminer le PGCD par l’algorithme d’Euclide Dividende Diviseur Quotient Reste 72 40 1 32 40 32 1 8 32 8 4 0 On cherche PGCD(72 ;40). Le PGCD est le dernier reste non nul, c’est-à-dire PGCD(72 ;40)=8.

Nombres premiers entre eux et fractions irréductibles Deux nombres a et b sont dits premiers entre eux si PGCD(a ;b)=1. Si a et b sont premiers entre eux, alors la fraction a est irréductible. b Simplifier une fraction pour la rendre irréductible a Si on simplifie une fraction b par le PGCD de a et de b, alors on obtient une fraction irréductible. 40÷8 5 Par exemple : PGCD(72 ;40)=8 nous permet de rendre irréductible 40 = 72÷8 = 9 72

C ALCUL LIT TÉRAL

1. Réduire une expression littérale : Exemples : • 2x + 5x = (2 + 5)x = 7x • 2x − 5x = (2 − 5)x = −3x • x + 6x =1x + 6x = 7x • x − 2x = 3x − 2x = 1x 3 3 3 3 • 2x × 5x = 10x 2 • (3x)2 = 9x 2

2. Enlever des parenthèses précédées d’un signe + ou − : Règle d’omission des parenthèses Si une parenthèse est précédée d’un signe +, alors on peut supprimer ces parenthèses en conservant les signes intérieurs à cette parenthèse. Si une parenthèse est précédée d’un signe −, alors on peut supprimer ces parenthèses en changeant les signes intérieurs à cette parenthèse. Exemples : • 2+(x+5) = 2+x+5 • 2+(x−5) = 2+x−5 • 2−(x+5) = 2−x−5 • 2−(x−5) = 2−x+5

3. Développer une expression littérale : Développer un produit signifie le transformer en somme algébrique. Règles de développement Distributivité simple : k(a + b) = k a + kb k(a − b) = k a − kb (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2 Distributivité double : (a + b)(c + d ) = ac + ad + bc + bd Identités remarquables : (a − b)2 = a 2 − 2ab + b 2 (a + b)(a − b) = a 2 − b 2

Exemples : • 2(x + 5) = 2 × x + 2 × 5 = 2x + 10 • (x + 2)(2x − 5) = x × 2x − x × 5 + 2 × 2x − 2 × 5 = 2x 2 − 5x + 4x − 10 = 2x 2 − x − 10 • (1 + 5x)2 = 12 + 2 × 1 × 5x + (5x)2 = 1 + 10x + 25x 2 4. Factoriser une expression littérale : Factoriser une somme algébrique signifie la transformer en produit. Règles de factorisation Facteur commun : k a + kb = k(a + b) k a − kb = k(a − b) Identités remarquables : a 2 + 2ab + b 2 = (a + b)2 a 2 − 2ab + b 2 = (a − b)2 a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) Exemples : • 4a 2 − 3a = 4a × a − 3a = a(4a − 3) • 3x + 3y = 3(x + y) • (2x + 1)(x − 3) − (6x − 5)(2x + 1) = (2x + 1) [(x − 3) − (6x − 5)] = (2x + 1)(−5x + 2) • 4x 2 − 20x + 25 = (2x)2 − 2(2x)(5) + (5)2 = (2x − 5)2 • (x + 2)2 − 81 = (x + 2)2 − 92 = (x + 2 − 9)(x + 2 + 9) = (x − 7)(x + 11)

E QUATIONS & INÉQUATIONS

Définitions Une équation est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu, représenté par une lettre, appelée inconnue de l’équation. Une solution de cette équation est une valeur de l’inconnue pour laquelle l’égalité est vraie. Résoudre une équation, c’est en trouver toutes les solutions. Exemple : • −4 est une solution de l’équation −3x − 5 = 7 car, lorsque je remplace l’inconnue x par −4 dans l’équation, l’égalité est vérifiée : (−3)(−4) − 5 = 12 − 5 = 7 •mais 2 n’est pas une solution de l’équation −3x − 5 = 7 car, lorsque je remplace x par 2, l’égalité n’est pas vérifiée : (−3) × 2 − 5 = −6 − 7 = −11 = 5 Règles de calcul sur les égalités Règle n°1 : On ne change pas l’ensemble des