Calcul différentiel

f2 ) est diff´rentiable en α si et seulement si e f1 et f2 le sont et alors f (α) = (f1 (α), f2 (α)).

1.4

Proposition

Si f : U → V ⊂ F est diff´rentiable en α et g : V → G est diff´rentiable en e e f (α), alors g ◦ f est diff´rentiable en α et (g ◦ f ) (α) = g (f (α)) ◦ f (α). e

1.5

D´finition e

Si f est diff´rentiable en tout point de U , on dit que l’application f : U → e L(E, F ) est la diff´rentielle de f . Dans ce cas, f est continue. e

1.6

Th´or`me des accroissements finis e e

Soit f : [a, b] → F (resp. g : [a, b] → R) une application continue sur [a, b] et diff´rentiable sur ]a, b[. Si f ≤ |g | sur ]a, b[, alors f (b)−f (a) ≤ |g(b)−g(a)|. e

1.7

Th´or`me de la moyenne e e

Soit f une application diff´rentiable sur U convexe. Alors, pour tout a, b ∈ U , e on a f (b) − f (a) ≤ supU f (x) b − a .

1.8

Corollaire

Si f est diff´rentiable sur U et f = 0, alors f est constante sur chaque e composante connexe de U .

1.9

D´finition e

Si f est diff´rentiable et f continue, on dit que f est continˆment diff´rentiable e u e et on ´crit f ∈ C 1 (U, F ). Si E = R, on ´crit C 1 (U ). On d´finit par r´currence, e e e e la notion de fonction C k , pour k ∈ N ∪ ∞.

1.10

Proposition

n

Si f : E1 × · · · × En → F est multillin´aire continue, f est C 1 et e f (α)(h) =

i=1

f (α1 , . . . , αi−1 , hi , αi+1 , . . . , αm ).

En particulier, si f est lin´aire continue, f (α) = f . e

1.11

D´finition e

xi → fi (α1 , . . . , αi−1 , xi , αi+1 , . . . , αm ).

Soit f : U ⊂ Rm → Rn . Consid´rons la fonction e

Si celle-ci est d´rivable en αi , on note ∂fi /∂xj (α) le nombre d´riv´. On dit que e e e ∂fi /∂xj est une d´riv´e partielles de f e e 2

1.12

Proposition

Si f (α) existe, alors les ∂fi /∂xj (α) aussi et f (α) = [∂fi /∂xj (α)]. Si toutes les d´riv´es partielles existent et sont continues en α, alors f est e e diff´rentiable en α. e Enfin, f est C 1 ssi toutes les d´riv´es partielles existent et sont continues. e e

1.13

Remarque

En terme de matrices, la formule de d´rivation d’une application compos´e e e s’´crit e [∂(g ◦ f )i /∂xk (α)] = [∂gi /∂xj (f (α))][∂fj /∂xk (α)]. Notations : On se donne f : U ⊂ Rm → Rn et x : Rm → Rm . On note xi (resp. uj ) les coordonn´es dans Rm (resp. Rm ). On ´crit ∂fi /∂uk au lieu e e de ∂(f ◦ x)i /∂uk , (u1 , . . . , um ) au lieu de α et (x1 , . . . , xm ) au lieu de f (α). La formule devient alors [∂fi /∂uk (u1 , . . . , um )] = [∂fi /∂xj (x1 , . . . , xm )][∂xj /∂uk (u1 , . . . , um )]. On rappelle que si x = (xi )i∈N ∈ RN , alors x p := ( i=0 |xi |p ) p ∈ R ∪ ∞ pour p ≥ 1 et x ∞ := sup∞ |xi | ∈ R ∪ ∞. Enfin, pour p ∈ [1, ∞[, on pose i=0 lp (R) := {x ∈ RN , x p < ∞}. Bien sˆr, si p ≤ q, on a x q ≤ x p et donc u lp (R) ⊂ lq (R). Exercice 1 Soit f ∈ C 1 (R) telle que f (0) = 0 et F : l1 (R) → l1 (R), x → F (x) := (f (xi ))i∈N . Montrer que F est bien d´finie et partout diff´rentiable et calculer F’. e e Tout d’abord, F est bien d´finie grˆce au th´or`me de la moyenne qui nous e a e e dit que, comme f est C 1 , il existe k tel que |f (xi )| ≤ k|xi | (pour i >> 0) car x 1 < ∞ et donc xi → 0. Maintenant, on montre que F est diff´rentiable en a ∈ l1 (R) et que F (a) = e Φ avec Φ(h) = (f (ai )(hi ))i∈N . Soit > 0. Comme f est uniform´ment continue e pour |x| ≤ a ∞ + 1, il existe δ > 0 tel que si |x|, |y| ≤ a ∞ + 1 et x − y ≤ δ, alors |f (x) − f (y)| ≤ . Si h ∈ l1 (R), on a

hi ∞

1

f (ai + hi ) − f (ai ) − f (ai )(hi ) =

0

(f (ai + t) − f (ai ))dt

et donc, si h ≤ δ, 1, |f (ai + hi ) − f (ai ) − f (ai )(hi )| ≤ |hi |, ce qui donne bien F (a + h) − F (a) − Φ(h) ≤ |h|. Il reste a v´rifier que Φ est bien d´finie, lin´aire et continue : or on a e e e (f (ai )(hi )) 1 ≤ (f (ai )i∈N ∞ h 1 et la lin´arit´ est claire. Remarquons que e e (f (ai )i∈N ∞ < ∞ car f est continue et ai → 0. Exercice 2 Montrer que l’application f := − et C 1 , et calculer f . 3

2 2

: l1 (R) → R est bien d´finie e

On ´crit f = ψ ◦ δ avec δ(x) = (x, x) et ψ(x, y) = x, y := i=0 xi yi . e Comme on a x, y ≤ x 1 y 1 , on voit que l’application ψ est bien d´finie, e et comme elle est bilin´aire (sym´trique), qu’elle est continue. e e Comme δ est ´videmment lin´aire continue, on voit que ces applications sont e e C 1 et par composition, f est C 1 . De plus, on a f (x) = (ψ ◦ δ) (x) = ψ (x, x) ◦ δ et donc f (x)(h) = ψ (x, x)(h, h) = 2 x, h =:=

∞ i=0

∞

xi hi

p

Dans la suite, on rappelle que si f ∈ C 0 ([a, b]), alors f pour p ≥ 1 et f ∞ := supt∈[a,b] |f (t)|.

:= (

b a

|f (t)|p ) p

1

Exercice 3 Soit E l’espace vectoriel des fonctions f : [0, 1] → R2 qui sont C 1 sur ]0, 1[ et dont les composantes sont continˆment d´rivables ` gauche en 0 et u e a a ` droite en 1. On prolonge f par continuit´ en 0 et en 1. On munit cet espace e de la norme f := sup0≤t≤1 f (t) + f (t) . Montrer que

1

T : E → R, f →

0

det(f (t), f (t))dt

est C 1 et calculer sa diff´rentielle. e On munit F = C 0 ([0, 1]) de la norme ´crit T := I ◦ det ◦u avec e −

∞

et F × F de la norme sup. On

u : E → F × F, f → (f, f ), det : F × F → F, (f, g) → det(f, g) et I : F → R, f →

0 1

f (t)dt.

L’application u est clairement lin´aire car ses composantes le sont. Elle est e continue, car si f ∈ E, alors sup( f F , f F ) ≤ f E . De mˆme, l’application e det est bilin´aire continue car det(f, g) F ≤ 2 sup f F g F . Enfin, on sait e que I est lin´aire et continue car |I(f )| ≤ f F . Par composition, on voit que e T est C 1 et on a T (f ) = (I ◦ det ◦u) (f ) = (I ◦ det) (f, f ) ◦ u = I ◦ det (f, f ) ◦ u. Il suit que

1

T (f )(h) = I[det (f, f )(h, h )] =

0

[det(f (t), h (t)) + det(h(t), f (t))]dt.

Exercice 4 Soit ϕ :]0, ∞[→ C 0 ([0, 1]), α → (ϕα : [0, 1] → R, t → tα ). On munit C 0 ([0, 1]) de la norme − 1 . Montrer que ϕ est diff´rentiable et e calculer ϕ . D´terminer une constante C telle que e ∀α, β > 0, ϕ (β) − ϕ (β) ≤ C|β − α|. 4

On fixe α > 0 et on montre que ϕ (α)(t) = ln(t)tα avec la convention que ln(t)tα est nul en t = 0. Pour cela, on va calculer

1

|tα+h − tα − h ln(t)tα |dt =

0

h2 . (α + 1)2 (α + h + 1)

On v´rifie d’abord que tα+h − tα − h ln(t)tα ≥ 0. Comme tα ≥ 0, il suffit de e consid´rer th − 1 − h ln(t). Un changement de variable x = h ln(t) nous ram`ne e e ` ex − 1 − x qui est toujours ≥ 0 (´tudier la fonction). a e Ensuite, on int`gre par partie e

1

ln(t)tα dt = [ln(t)

0

tα+1 1 ] − α+1 0

1 0

1 tα+1 dt = t α+1