TD mécanique des milieux continus (comportement élastique)

TD MMC

Le comportement thermoélastque linéaire

Exercice 1 :

        Une éprouvette cylindrique d’axe OZ, de rayon R et de hauteur h, est constituée d’un matériau homogène isotrope et thermoélastique linéaire. Les transformations étudiées dans cet exercice sont supposées homogènes et infinitésimales et les forces de masse sont négligées.

         Déterminer les champs de contraintes σ et ε dans les quatre situations suivantes :  

• L’éprouvette est posée sur un support rigide et lubrifié et est soumise à une élévation de température uniforme τ
• L’éprouvette est posée sur un support rigide et lubrifié et est soumise à une contrainte de compression uniforme Q appliqué sur sa face supérieure.
• L’éprouvette est placée dans un trou (ayant les dimensions de l’éprouvette ) réalisé dans un massif rigide. Le contact massif-éprouvette est sans frottement et l’éprouvette est le siège d’une élévation de température uniforme.

• L’éprouvette est placée dans un trou (ayant les dimensions de l’éprouvette), réalisé dans un massif rigide. Le contact massif éprouvette est sans frottement  et l’éprouvette est soumise à une contrainte de compression uniforme Q appliquée sur sa face supérieure. La face inférieure repose sur un support rigide.

Exercice 2 :

Une éprouvette cylindrique d’axe (oz), de rayon R et de hauteur h, est constituée d’un matériau homogène, isotrope et thermo élastique linéaire. Dans cet essai, l’éprouvette  est placée dans une cellule qui contient un fluide porté à une pression P.  La base de la cellule est fixe et indéformable et le contact éprouvette base de la cellule est sans frottement avec possibilité de glissement. Un piston indéformable permet d’appliquer un déplacement vertical à l’éprouvette. Le contact piston-éprouvette est aussi sans frottement. Les forces de masse sont négligées et les transformations sont infinitésimales.

• Ecrire les conditions aux limites
• Donner la forme la plus simple des champs de déplacement en respectant la symétrie du problème. Calculer les champs de déformations ε associés à de tels déplacements.
• Déterminer le champ de contrainte réel dans l’éprouvette.
• Quelle est la force exercée sur le piston pour obtenir le déplacement.

Exercice 3 :

Une éprouvette prismatique d’axe (oz), de hauteur    H =10 cm et e section carré de côté a=2 cm, est constituée d’un matériau élastique linéaire homogène et isotrope.

L’éprouvette est soumise à un essai de traction simple (oz). La contrainte de traction, la déformation longitudinale et la déformation transversale sont notées σ, εl , εt respectivement. Les courbes contrainte-déformation longitudinale et contrainte-déformation transversale sont représentées dans la figure ci-dessous.

[pic 1]

Déterminer le module de Young E, le coefficient de Poisson ν et la limite d’élasticité linéaire en traction simple σ0 du matériau constituant  l’éprouvette.

L’éprouvette est maintenant soumise à un 2ème essai homogène au cours duquel le tenseur des contraintes de Cauchy est tel que :

   [pic 2]

            On donne α = 50 MPa et K = 200 MPa.

-Tracer les cercles de Mohr  associés à cet état de contrainte.

-Déterminer les contraintes maximales de traction et de cission.

-Pour cet état de contraintes le comportement du matériau est il élastique linéaire sachant que le critère de limite d’élasticité est celui de Von Mises ?

Une éprouvette cylindrique, d’axe OZ, de rayon R et de hauteur h, est constituée d’un matériau homogène, isotrope et élastique linéaire de Module d’Young E et de coefficient de Poisson ν. Cette éprouvette est placée dans une « cellule » qui contient un fluide porté à une pression P. La base de la cellule est fixe et indéformable et le contact éprouvette-base de la cellule est sans frottement. Un piston indéformable permet d’appliquer un déplacement vertical δ à l’éprouvette. Le contact piston-éprouvette est aussi sans frottement. Les forces de masse sont négligées et l’essai est mené dans le cadre des hypothèses des petites perturbations.

[pic 3]

1. Ecrire les conditions aux limites imposées à l’éprouvette.
2. On suppose que le tenseur de déformation dans l’éprouvette est constant. Proposer ses composantes dans la base orthonormée des coordonnées cylindriques.
3. Déterminer le champ des contraintes σ dans l’éprouvette.
4. Déterminer les champs de déformation ε et déplacement ζ.
5. L’éprouvette est maintenant placée dans un tube mince métallique d’épaisseur e               (e << R). Les conditions aux limites sur les surfaces z=0 et z=h restent celles décrites plus haut. Sur la surface latérale (r=R) le contact tube éprouvette est supposé sans frottement et le métal est supposé très rigide comparé au matériau constituant l’éprouvette.

5.1 Ecrire la nouvelle condition aux limites sur la surface latérale (r=R)

5.2 En utilisant la situation de la question 4, déterminer le vecteur contrainte exercé par l’éprouvette sur le tube.

5.3 En considérant que le métal du tube a une résistance caractérisée par une contrainte de rupture σL, déterminer l’épaisseur minimale, emin, du tube en fonction de δ, E, ν, σL, h et R.

5.4 Application numérique : E=210000 MPa, σL=210 MPa, ν=0.2, h=20 cm, R=5 cm,             δ =2 mm.

Correction :

Exercice 1 :