Les Matrices

+ (-1)1+3 a13 | a22 a22 | | a21 a22 a23 | | a32 a33 | | a31 a33 | | a31 a32 | | a31 a32 a33 | det A = ∑ (-1)i+j aij . det B Où B est la matrice 2 x 2 restante de A après avoir ‘enlevé’ les aij des lignes i et des colonnes j (selon si detA est calculé suivant une ligne ou une colonne)

Propriétés des déterminants : • La valeur d’un déterminant ne change pas lors d’une transposition. « det A = det (At) » • Un déterminant dans lequel 2 lignes ou 2 colonnes sont identiques est égal à 0. • Lorsque dans déterminant, les éléments d’une ligne ou d’une colonne sont proportionnels, ce déterminant est nul. • Lorsqu’on multiplie ou divise par un même facteur tous les éléments d’une ligne ou d’une colonne, ce déterminant est multiplié par ce même facteur.  Système linéaire et système de Cramer Un système de n équations à p inconnues peut s’écrire : | a11 x1 + a12 x2 + ... + a1p xp = b1 | a21 x1 + a22 x2 + ... + a2p xp = b2 | ... ... ... ... ... | an1 x1 + an2 x2 + ... + anp xp = bn Ce système peut s’écrire sous forme matricielle A X = B.

On appelle système de Cramer un système tel que n = p et det A ≠ 0. Théorème : Un système de Cramer admet un solution unique donnée par la formule : | a11 a12 ... b1 ... a1n | | a21 a22 ... b2 ... a2n | | ... ... ... ... | xi = | an1 an2 ... bn ... ann | det A On remplace les aij de la colonne j par les bi pour trouver l’inconnue xi.  en général, pour x on remplace la colonne 1, la n°2 pour j puis la n°3 pour z.

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V.Matrice inverse

Soit une matrice A, on appelle matrice inverse de A et on note A-1 la matrice tel que A.A-1 = I. δij est appelé indice de KRONECKER  δij = 1 si i = j δij = 0 si i ≠ j Propriétés : Une matrice A est inversible si det A ≠ 0. Pour une matrice carrée, l’inverse de A (noté A-1) s’obtient par : A-1 = 1 * A* où A* est la transposée de la matrice des cofacteurs (Ct en informatique) det A A* est aussi appelée adjointe de A.

VI.Direction, vecteurs et valeurs propres d’une matrice carrée

Soit une matrice A, on appelle X vecteur propre de A tout vecteur tel que A X = λ I X où I = identité λ = scalaire associé au vecteur propre X que l’on appelle valeur propre. Dans la pratique, on détermine d’abord λ et ensuite X. AX=λIX AX-λIX=0  (A - λ I) X = 0 Ce système admet une solution si det (A-λI) = 0.

VII.Diagonalisation d’une matrice

Toute matrice carrée d’ordre n possédant n valeurs propres distinctes est réductible à la matrice diagonale.

A’ est la matrice diagonale réduite de A. A et A’ sont semblables mais ne sont pas exprimés dans la même base. La matrice A’ est exprimée dans la base des vecteurs propres u1, … un associés aux valeurs propres λ1, … λn.

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 Diagonalisation d’une matrice symétrique

On en déduit λ1, λ2 et λ3 en utilisant la formule det (A – λ I) = 0 On obtient : λ1 = 6 ; λ2 = 3 et λ3 = -2. On en déduit les vecteurs propres u, v et w en disant que A u = λ1 u. On obtient

Exprimé dans la base u, v, w, A devient :

Propriétés pour une matrice symétrique : • λ1, λ2 et λ3 sont réels. • u, v, w sont orthogonaux (leur produit scalaire est égal à 0) • u, v, w sont les directions qui portent les contraintes principales

Solac 5