Mécanique De Rupture

sur l’élasticité II- Tenseur des déformation

Le tenseur des déformations, est un tenseur symétrique 3×3 servant à décrire l'état de déformation local résultant de contraintes (efforts internes).

ε  xx ε =  ε yx  ε  zx

ε ε ε

xy yy zy

ε ε ε

xz

   yz   zz 

Dans le cas de petites déformations, ce tenseur est le tenseur de Green, un tenseur dérivé du champ de déplacement. Avec : i, j = (x, y, z)

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Généralités sur l’élasticité III- Élasticité tridimensionnelle

Pour bien définir le comportement entre le système et les contraintes extérieures, on doit donc écrire les différentes relations entre contraintes (σij), déformations (εij) et déplacements (Ui). On a besoin de définir 15 équations pour résoudre un problème d’élasticité en 3 dimensions.

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Généralités sur l’élasticité III- Élasticité tridimensionnelle

A- Loi de Hooke - Dans le cas d'un matériau isotrope :

ε

ij

1 +ν = σ E

ij

−

ν

E

σ

kk

δ

ij

[6 équations]

δ

ij

{

=1 = 0

p o u r i= j pour i≠ j

Avec: E : Module de Young ν : Coefficient de poisson

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Généralités sur l’élasticité

- Dans le cas d'un matériau anisotrope : Le comportement élastique est modélisé par un tenseur d'ordre 4 [Cijkl] contenant 81 coefficients élastiques.

En appliquant la sommation sur les indices k et l. Le nombre de coefficients indépendants est réduit à 21 en tenant compte de la symétrie des tenseurs de contraintes et de déformations, et de la stabilité énergétique du tenseur.

Remarque :

[σ ] = [C ][ε ]

[ε ] = [S ][σ ]

Avec [C] Tenseur des rigidités Avec [S ] Tenseur des complaisances élastiques.

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Généralités sur l’élasticité

En introduisant les coefficients d’élasticité pour un matériau anisotrope [S ] s’écrit sous les formes.

 1    E 1  −  ν 12  E 1   − ν 13  S =  E 1  η 23 , 1   E 1   η 13 , 1   E 1  η 12 , 1    E 1 −ν

21 2

−ν −ν

31 3 32 3

η η

G G

1 , 23 23 2 , 23 23 3 , 23 23

η η

G G

1 , 13 13 2 , 13 13 3 , 13 13

η η

G G G G

1 , 12 12 2 , 12 12 3 , 12 12

−ν

E 1 E

E

2 23 2

E

1

η

η η

η η

η

E E

23 , 2 2

η

E E

3

G

1

G G

1

23 , 3 3

23 , 13 13

23 , 12 12

η η

13 , 2 2

η η

13 , 3 3

η η

G

23

13 , 23 23

η

13 , 12 12

E

E

G

12 , 2 2

12 , 3 3

12 , 23 23

η

G

13

G

1

12 , 13 13

E

E

G

G

G

12

                     

Ainsi, pour définir complètement un matériau dans le cas le plus général d'anisotropie, il faut trois modules d'Young, trois modules de cisaillement, trois coefficients de poisson, trois coefficients de CHENTSOV et neuf coefficients de LEKHNITSKII.

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Généralités sur l’élasticité

- Dans le cas d'un matériau orthotrope : Définition : Un matériau est dit orthotrope, s'il a deux plans de symétries de comportement mécanique, il y a donc trois axes d'orthotropies, d'où : L'existence de deux plans de symétrie annule douze constantes élastiques.

 1   E   −ν  11    E 22   −ν   33   =  E 23     0 13     0 12     0   −ν

1 12 1 13 1 21 2

−ν −ν

31 3 32 3

ε  ε ε   γ γ  γ 

−ν

E 1 E E

0 0 0

E E

1

0 0 0

0 0 0 0

23

0 0 0 0 0

13

2 23 2

E

0 0 0

3

1

G

0 0

1

G

0

1

G

12

      σ   σ σ   τ  τ   τ     

11 22 33 23 13 12

         

Dans ce cas on a neuf constantes élastiques indépendantes

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Généralités sur l’élasticité III- Élasticité tridimensionnelle

B- Les équations d’équilibre Les équations d’équilibre sont données par les relations suivantes :

∂σ ∂

X

ij