Sphère volume et calcul intégral

SUJET MATHS : SPHÈRE VOLUME ET CALCUL INTÉGRAL

I-INTRO

La géométrie et le calcul algébrique sont deux domaines très importants des mathématiques. Le rapport entre le calcul algébrique et la géométrie ne semble au premier abord pas instinctif mais il existe en réalité un lien étroit entre ces deux matières. Avant d'aborder la problématique centrale de notre exposé, il est crucial de revenir aux fondements en rappelant la définition du volume et en examinant la formule bien connue du volume d'une sphère.

Le concept de volume est fondamental en géométrie et en mathématiques. Il représente l'espace tridimensionnel occupé par un objet. Pour un objet géométrique tel qu'un solide, le volume mesure la quantité d'espace qu'il occupe dans l'espace. Le volume ne se limite pas aux formes simples telles que les cubes ou les prismes, mais s'étend également aux formes plus complexes telles que les sphères, les cônes et les cylindres.

La formule classique du volume d'une sphère est largement connue : 4/3πR³, où R représente le rayon de la sphère.  Elle nous permet de calculer le volume d'une sphère de manière efficace et précise. Cependant, la question se pose : comment pouvons-nous relier cette formule à des concepts plus abstraits tels que le calcul analytique et les intégrales ?Cette formule est fondamentale dans de nombreux domaines scientifiques, de l'astronomie à la physique, en passant par la géographie.

Pour illustrer notre propos, nous allons nous servir l’exemple d’une boule de neige que nous assimileront à une sphère. Une boule de neige est une forme tridimensionnelle complexe qui, à première vue, semble difficile à quantifier en termes de volume. Nous allons donc essayer de mieux comprendre d’où vient la formule de ce volume grâce au calcul intégral. En abordant cette question, nous verrons le lien entre la géométrie intuitive et le calcul analytique.

Les solides simples tels que les prismes droits et les cylindres sont des exemples parfaitement adaptés pour illustrer cette idée. Lorsque nous examinons un prisme droit, par exemple, nous voyons clairement que son volume peut être calculé en multipliant l'aire de sa base par sa hauteur. Ce processus intuitif est facilement compréhensible : plus la base est grande et plus la hauteur est élevée, plus le volume du solide est important. De même, pour un cylindre, nous multiplions simplement l'aire de sa base circulaire par sa hauteur pour obtenir son volume. Ce raisonnement direct est souvent suffisant pour des formes simples comme celles-ci, mais comment l'appliquer à des formes plus complexes comme celle de notre boule de neige ?

Lorsque nous examinons une boule de neige, nous rencontrons rapidement des limitations dans notre approche intuitive du calcul de volume. Contrairement aux prismes droits et aux cylindres, une sphère n'a ni base ni hauteur définies de manière évidente. Par conséquent, il nous faut utiliser des outils mathématiques plus complexes pour déterminer son volume : dans notre cas on utilisera un système de coordonnées sphériques ainsi que le calcul intégral. (on y reviendra)

Notre démarche vise donc à élucider comment l’exemple du calcul du volume d'une boule de neige peut servir à montrer le lien entre la géométrie traditionnelle et le calcul analytique avancé.

II- UN POINT SUR LES OUTILS

Système de coordonnées sphériques, citer ses avantages par rapport aux coordonnées cartésiennes dans cette situation

Le système de coordonnées sphériques est un autre système de coordonées utile en trois dimensions.

 Il simplifie en particulier les calculs d’integrals triples sur des volumes limités par des portions de sphères ou de cônes.

Les coordonnées sphériques (ρ, θ, Φ) d’un point P de l’espace sont :

 ρ = |OP|, la distance de l’origine O à P (ρ ≥0)

 θ, le même angle qu’en coordonnées cylindriques. (varie entre 0 et 2π)