Cours Fonction Exponentielle

)/(g²) = 0

donc (f/g) est une constante.

Or, (f/g)(0) = (f(0)/g(0)) = 1 donc f/g est la fct constante 1

donc f=g d'où il existe une solution au prbl f'=kf et f(0)=1 et elle est unique.

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Relation fonctionnelle caractéristique de la fonction exponentielle

Théorème

Pour tous réels x et y, on a exp(x+y) = exp(x) x exp(y)

Démonstration

Soit un réel y fixé, et F(x)= (exp(x+y))/(exp(x))

On a F’(x) = [exp’(x+y) exp(x) – exp(x+y) exp’(x)]/(exp(x)²)

F’(x) = [exp(x+y) exp(x) – exp(x+y) exp(x)]/(exp(x)²)

F’(x) = 0

Donc F est cst quelque soit x.

Or, F(0) = [exp(0+x)/exp0] = exp(y)/1 = exp(y)

Donc pour tous x et y : exp(x+y) = exp(x) x exp(y)

Remarque

Cette RF marche aussi pour fk = exp(kx) => on remplace x par (x+y)

3. Les propriétés

Sens de variations

f(x) = exp(x) est tjs strictement croissante sur R.

*Conséquence : ∀(a ;b) ∈ R²

exp(a) 0 sur [0 ; +∞[

d’où ex – x > 0

donc ex > x

donc limg(x) = + ∞

x->+∞

*en -∞

limex = lime-x = lim(1/ex) = O

x ->-∞ X ->+∞ X ->+∞

Approximation affine au voisinage de 0

f(x)= ex est dérivable en 0 donc elle admet une app affine.

f(x0+h) ≃ f(x0) + hf’(x0) avec x0 = 0

e0+h ≃ e0 + he0

eh ≃ 1+h (quand h proche de 0)

Conséquence

Puisque, pour tout h ∈ R, eh = 1+h+hε(h) avec limε(h)= 0

On a alors, pour tout h ∈ R* : (eh – 1)/h = 1+ε(h)

Et on en déduit : lim(ex – 1)/x = 1

x -> 0

Remarque

Soit u une fct dérivable sur I, la fct f définie par f(x) = eu(x) est dérivable sur I en tant que composée de 2 fonctions dérivables et, pour tout x∈I :

f’(x) = eu(x) x u’(x)