Cours de maths statistiques

er les fréquences cumulées croissantes et décroissantes pour le tableau 1 ? Peut-on les interpréter ? 7) Réalisez pour chaque tableau une représentation graphique des fréquences absolues et des fréquences absolues cumulées croissantes et décroissantes.

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Exercice (5) : La société Marko réalise 70% de son chiffre d’affaires à l’exportation. La répartition géographique est donnée dans le tableau suivant : Région Amérique du nord Amérique du sud Afrique du nord Sud-est asiatique Reste du monde CA en € 23160 15200 8000 4600 18200

1) Quel est la nature de la variable étudiée dans ce tableau ? 2) Faites deux représentations graphique différentes du chiffre d’affaires. Exercice (6) : Soit la série statistique suivante : 3, 10, 11, 7, 2, 17, 14, 11, 13, 1, 8, 9 Calculez la médiane, le mode et commenter. Exercice (7) : Soit la série statistique suivante : 3, 9, 7, 13, 14, 12, 13, 8, 10 Calculez la médiane, le mode et commenter. Exercice (8) : reprendre le tableau 2 de l’exercice 4 Calculez, le mode et la médiane. Commenter. Exercice (9) : Soit la distribution des salaires mensuels de 200 employés de la société AZERTY : Salaires en 10 2 € [5 – 7 [ [7- 9 [ [9- 11 [ [11- 13 [ plus de 13 Nombre d’employés 50 64 40 30 16

Calculez, le mode et la médiane. Commenter.

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Exercice (10) : Le tableau suivant donne la répartition de 100 entreprises selon leur bénéfice: Bénéfices en moins de 10 [10 - 12 [ [12 - 14[ [14 - 18[ [18- 20[ [20 - 24[

10 3

€

Nombre d’entreprises 10 16 20 30 16 5

1) Représentez l’histogramme des bénéfices et le polygone des fréquences en utilisant les fréquences absolues. 2) Déterminez graphiquement la médiane et commenter. 3) Déterminez graphiquement le mode et commenter. 4) Calculez, analytiquement, le mode et la médiane en utilisant les fréquences relatives. Commenter. Exercice (11) : Dans une entreprise A travaillant 200 hommes et 100 femmes. Dans l’entreprise B, ces effectifs sont respectivement de 300 et 150. Les salaires moyens sont donnés dans le tableau suivant: Hommes Entreprise A Entreprise B 1220 € 2000 € Femmes 1000 € 1500 €

Quelle entreprise offre le salaire moyen le plus élevé ? Exercice (12) : On procède à l’achat d’actions : - pour 4000 € au cours de 80 € - pour 6000 € au cours de 75 € - pour 5740 € au cours de 82 € 1) Calculez le cours moyen d’une action. 2) Montrez que ce cours moyen peut être obtenu par une moyenne harmonique Exercice (13) : Un étudiant a consacré la même somme de 30 € (dépense mensuelle) pendant trois mois à l’achat de livres aux prix unitaire respectifs de 6 €, 15 € et 5 € le livre. Calculer le prix d’achat moyen d’un livre.

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Exercice (14) : L’étude de l’évolution des bénéfices d’une entreprise sur quatre ans montre que les bénéfices ont augmenté de 6% pendant les deux premières années, de 10% pendant la troisième année et de 7% la quatrième année. Quelle l’augmentation moyenne sur quatre ans ? Exercice (15) : reprendre l’exercice 6 Calculez la moyenne arithmétique, géométrique, harmonique et quadratique. Que remarquez-vous ? Exercice (16) : Les observations portant sur les salaires de 100 personnes sont données dans le tableau suivant : Salaires en [2 - 4[ [4 - x[ [x -9[ [9 - 11[ [11 - y[

10 2 €

Effectifs 15 28 30 14 13

1) Le salaire médian des personnes observées étant de 5,94 €, calculer x. 2) En retenant la valeur obtenue pour x et sachant que le salaire moyen est de 6,835 €, calculez y. Exercice (17) : 1) Soit z = x × y . Montrer que : Gz = Gx × G y 2) Soit z = ( Gz est la moyenne géométrique)

x G . Montrer que : Gz = x y Gy

Exercice (18) : reprendre le tableau 2 de l’exercice 4 1) Calculez les moments simples (non centrés) d’ordre 1, 2. 2) Calculez les moments centrés d’ordre 1 et 2. Rappel :

mp =

1 i=k ∑ ni xip n i =1

(Moment non centré d’ordre p), µ p =

1 i=k ∑ ni ( xi − x ) p n i =1

(Moment centré)

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Exercice (19) :Montrez que :

µ2 = m2 − m12

Exercice (20) : reprendre l’exercice 10 1) Calculez les moments simples (non centrés) d’ordre 1,2 et 3. 2) Calculez les moments centrés d’ordre 1, 2 et 3. Exercice (21) : Montrez que: 1)

i =n 1 i=n ∑ ni ( xi − x )2 = ∑ fi x 2i − x 2 n i =1 i =1

(pour des données présentées sous forme de classes) 2)

i=n 1 i=n ∑ ( xi − x )2 = ∑ fi x 2i − x 2 n i =1 i =1

(pour des données simples)

Exercice (22) : reprendre l’exercice 6 1) Calculez la moyenne arithmétique de la série statistique. 2) Calculez la variance à l’aide de la formule de définition et la formule développée (en utilisant les fréquences absolues). En déduire l’écart type. Exercice (23) : reprendre l’exercice 10 1) Calculez le bénéfice moyen. 2) Calculez la variance des bénéfices à l’aide de la formule de définition et la formule développée (en utilisant les fréquences absolues). En déduire l’écart type. 3) Calculez le coefficient de variation. Donner un exemple sur son utilisation. Exercice (24) : La distribution des salaires dans l’entreprise VIVEN, composée de deux établissements, est la suivante : Etablissement 1 Salaires en € [400– 800[ [800 – 1200[ [1200 - 2800[ Effectifs ni 40 30 20 Etablissement 2 Salaires en € [800 – 1200[ [1200 – 2000[ [2000 – 4000[ Effectifs ni 60 50 30

1) Calculez la variance totale des salaires. 2) Décomposez la variance totale en variance intra-établissements et inter-établissements. Commentez.

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Exercice (25) : Le tableau suivant donne la répartition de 600 salariés d’une entreprise selon la durée, exprimée en minute, du trajet domicile - travail Durée du trajet en x minutes [0 - 10[ [10 - 20[ [20 - 30[ [30 - 40[ [40 - 50[ [50 - 60[ [60 - 70[ Effectifs 50 95 127 151 83 54 40

1) Parmi ces trois durées 4 mm, 20 mm, 45 mm laquelle vous semble susceptible d’être proche de l’écart type du trajet ? 2) On suppose que :

xi − 35 10 2.a) Calculez séparément la variance de x et de z. 2.b) Retrouvez V(x) à partir de V(z). Commenter. zi =

Exercice (26) : Soit xi la série statistique suivante : 5, 6, 5, 8, 6 1) On suppose que : zi = xi + 4 .

1.a) 1.b) 1.c) 1.d)

Calculez la moyenne arithmétique et la variance de x Calculez la moyenne arithmétique et la variance de z Comparez x et z . Commenter. Comparez V(x) et V(z). Commenter

2) On suppose que : zi = 3 xi . 2.a) 2.b) 2.c) 2.d) Calculez la moyenne arithmétique et la variance de x Calculez la moyenne arithmétique et la variance de z Comparez x et z . Commentez. Comparez V(x) et V(z). Commentez

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Exercice (27) : reprendre l’exercice 9 1) Etudiez l’asymétrie de la distribution des salaires en utilisant : a) Le coefficient de Pearson b) Le coefficient de Fisher 2) Etudiez l’aplatissement de la distribution des salaires en utilisant : a) Le coefficient d’aplatissement de Pearson b) Le coefficient d’aplatissement de Fisher Exercice (28) : Soit la distribution statistique donnant le nombre d’exploitations agricole par classe de surface en hectares : Surface [0 - 10[ [10 - 20[ [20 - 30[ [30 - 40[ Effectifs 4 3 2 1

1) Etudiez la concentration en utilisant la notion médiane – médiale. 2) Etudiez la concentration graphiquement. Exercice (29) : Soit la distribution statistique donnant les salaires annuels de 24 salariés : Salaires en

10 2 €

Effectifs 6 7 8 2 1

[150 - 160[ [160 - 170[ [170 - 180[ [180 - 190[ [190 - 200[

1) Tracez la courbe de concentration 2) Calculez l’indice de concentration de Gini (basé sur la méthode graphique) 3) Calculez l’indice de concentration de Gini en utilisant la formule suivante :

i=k

∑ ∑ xi − x j ni n j

i =1 j =1

j =k

I=

2 N ( N − 1) x

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Exercice (30): Soit la série statistique suivante: Centre de la classe ( x i ) 12 25 30 45 50 Fréquences relatives ( f i ) 0,10 0,15 0,20 0,20 0,35

Tracez la courbe de Gini et calculer l’indice de concentration. Commenter Exercice (31): Soit I 2 / 0 = 240