Cours De Maths - 4Ième

5 + 3x (1) 8x + 3 = 5 8x + 3 - 3 = 5 - 3 (2) 8x = 2 8x ÷ 8 = 2 ÷ 8 (4) x = 0,25 Vérification: 5 × 0,25 + 3 =1,25 + 3 = 4,25 et -3 × 0,25 + 5 = -0,75 + 5 = 4,25 Fitoussi.serge@free.fr Page 2 ex:

Cours de quatrième Ecritures fractionnaires a; b; c; d; k désignent des nombres relatifs. 1) Egalité de deux quotients: Le quotient de deux nombres relatifs ne change pas quand on multiplie (ou quand on divise) ces deux nombres par un même nombre relatif différent de zéro. a a×c a a÷c = , = , b≠0 , c≠0 b b×c b b÷c 2 2×−10 −20 18 18÷6 3 ex : = = ; − =− =− −0,3 −0,3 ×−10  3 12 12 ÷6 2 2) Addition, soustraction: Pour additionner (ou soustraire) deux nombres relatifs en écriture fractionnaire de même dénominateur, on additionne (ou on soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur. a b a b a b a−b  = ; − = ; k ≠0 k k k k k k Pour additionner (ou soustraire) deux nombres relatifs en écriture fractionnaire de dénominateurs différents, on les réduit d'abord au même dénominateur. 1 2 −2 15 −215 13 1 2 1 6 1 6−1 5 ex : −  =  = = ; 2− = − = − = = 3 5 6 6 6 6 3 1 3 3 3 3 3 3) Multiplication: Pour multiplier deux nombres relatifs en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. a c a×c c a×c × = ; b≠0 ; d ≠0 , en particulier a× = b d b×d d d ex : −5 3 −5×3 −15 15 −5 −2×−5 10 × = = =− ; −2× = = 7 4 7×4 28 28 7 7 7

4) Inverse d'un nombre:

c d est (avec c≠0 et d ≠0 ) d c 1 L'inverse de x est aussi noté x −1 (avec x ≠0 ) x 1 On a x× =x ×x−1=1 (avec x≠0 ) x L'inverse de

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Cours de quatrième 5) Division: Pour diviser par un nombre, différent de zéro, on multiplie par son inverse. a a c a d a×d b a d a×d ÷ = × = ou encore = × = ; b≠0 ; c≠0 ; d ≠0 b d b c b×c c b c b×c d −5 3 −5 4 −20 3 3 1 3 ex : ÷ = × = ; ÷2= × = 7 4 7 3 21 4 4 2 8 −5 3 7 −5 4 −20 4 3 1 3 = × = ; = × = 3 7 3 21 2 4 2 8 4 6) Produit en croix: Si deux quotients sont égaux, leurs produits en croix sont égaux aussi.: a c Si = alors ad =bc ( b≠0 ; d ≠0 ) b d 3 15 ex : = alors 3×20=4×15 4 20 5 x 40 20 = alors 6x=5×8=40 et x=40÷6= = 6 8 6 3

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Cours de quatrième Les puissances d'exposant entier relatif 1) Les puissances de dix: n désigne un nombre entier positif différent de zéro. (n>0). Définition : 10 n désigne le produit de n facteurs égaux à 10 10 n =10×10×...×10 =1 0...0 avec n≥2  

n facteurs n n zéros

10

se lit 10 puissance n

Par convention : 100 =1 et 101 =10 Définition : 10−n désigne l'inverse de 10 n 1 1 10 = n = =0,0 ... 1=0, 0...1   10 1 0...0  n chiffres

−n n zéros n zéros

ex : 10 6=1 000 000 106 représente un million

10−6=

1 =0,000 001 1 000 000

et 10−6 représente un millionième

2) Règle de calculs sur les puissances de dix: n et m désignent des nombres entiers relatifs. n m n m Produit : 10 ×10 =10 Inverse : Quotient : 1 =10−n n 10 10 p =10 p−q q 10

ex : 10 ×10 =10

6

4

64

=10

10

1 =10−−6=106 −6 10 10 2 ex : −3 =10 2−−3=105 10 ex :

m

Puissance de puissance :

10 n

=10

n×m

ex :  10

−3 2

 =10−3×2=10−6

3) Notation scientifique d'un nombre: Un nombre décimal peut s'écrire de différentes façons sous la forme a×10p où a est un nombre décimal et p un entier relatif. ex: 3 256,41 =3 25 641×10-2 = 0,325 641×104 = 3,25 641×103 L'écriture scientifique d'un nombres est la seule écriture a×10p pour laquelle le nombre a est écrit avec un seul chiffre avant la virgule, autre que zéro. 2,5 698×103 est l'écriture scientifique de 2 569,8. 4) Les carrés, la touche



: a =a×a

2

(5)2=5×5=25 Exemple:

(-5)2=(-5)×(-5)=25

un carré a une aire de 8cm². la longueur x en cm du côté de ce carré vérifie l'égalité : x² = 8. la touche  de la calculatrice permet de trouver une valeur approchée de x ; x≈2,828 . le nombre positif x est appelé racine carrée de 8 et s'écrit  8 . Page 5

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Cours de quatrième 5) Puissances entières d'un nombre relatif: a désigne un nombre relatif et n un entier positif différent de zéro . Définition : a n =a×a×...×a pour n2 

n facteurs a

1 a Règles de calculs sur les puissances entières: exemples : a2 a 3×a 2=a 32 =a 5 =a 2−5=a−3 avec a≠0 5 a Cas particuliers : 1 n=1 ; 0n=0 ; a−1 =

1 a = n avec a≠0 a Par convention : a 0 =1 ; a 1=a ( avec

−n

a≠0 )

ab 2 =ab×ab=a 2 ×b2

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Cours de quatrième Géométrie: bases. 1) Notation: (AB): droite passant par A et B. [AB]: segment d'extrémités A et B. AB: longueur du segment [AB]. [AB): demi-droite d'origine A. 2) Constructions:

Médiatrice d'un segment et Milieu d'un segment .

Perpendiculaire à une droite .

Triangle.

Bissectrice d'un angle . Parallèle à une droite et construction d'un parallélogramme.

Symétrie centrale . Symétrie axiale . Fitoussi.serge@free.fr Page 7

Cours de quatrième La droite des milieux 1) Rappels: (AB): droite AB [AB] : segment AB AB: longueur du segment AB 2) Droite des milieux: Première propriété des milieux: Dans un triangle, la droite qui passe par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté. La longueur du segment qui joint ces deux milieux est égale à la moitié de la longueur du troisième côté. A Données: Conclusion: (IJ)//(BC) I J Triangle ABC; Première et I milieu de [AB] Propriété J milieu de [AC] IJ=(1/2)BC B C

3) Milieu et parallèle: Seconde propriété des milieux: Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d'un côté et qui est parallèle à un second côté, coupe le troisième côté en son milieu. A Données: Conclusion: I B J Triangle ABC; I milieu de [AB] J point de [AC] C (IJ)//(BC) Seconde Propriété J milieu de [AC]

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Cours de quatrième La propriété de Thalés ou des trois rapports égaux 1) Triangles déterminés par deux parallèles coupant deux sécantes: Propriété: Dans un triangle ABC, si M est un point du côté [AB], N un point du côté [AC] et si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors, les longueurs des côtés du triangle AMN sont proportionnelles aux longueurs des côtés correspondants du triangle ABC.

A M N (M )//(B ) N C

B

C

Le tableau suivant est un tableau de proportionnalité: Longueurs des côtés de AMN Longueurs des côtés correspondants de ABC 2) Egalité des trois rapports: la propriété de Thalés:

AN AC

AM AB

MN BC

A M N

(M )//(BC) N

B

C

Propriété des "Trois Rapports Egaux": Dans un triangle ABC, si M est un point du côté [AB], N un point du côté [AC] et si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors : AM AN MN = = AB AC BC 3) Partage de segment: AB=5cm, partager [AB] en trois parties égales. A d1 d2 B On trace une demi-droite[Ax) sur laquelle on place des segments de même longueur. Puis on trace les droites: d1//d2//(BC) x Fitoussi.serge@free.fr Page 9

C