Didactique Des Mathémtiques

100 infinis. Munis d’un tableau comprenant six valeurs en euros et six en infinis, l’institutrice a donné pour consigne de retrouver les valeurs correspondantes d’une monnaie à une autre, tout en sachant que certaines étiquettes n’avaient pas leurs correspondances, que les élèves devaient créer d’eux-mêmes. Notons que la calculatrice leur a été autorisée, bien que l’enseignante ait stipulé qu’elle ne serait que très peu nécessaire. Les élèves avaient donc aussi la tâche de retrouver les valeurs manquantes. Elle les a installés par groupe de deux, munis d’une feuille vierge et de l’ensemble des étiquettes préalablement découpées. L’objectif de ce travail était de les laisser travailler en autonomie afin qu’ils trouvent par eux-mêmes une stratégie leur permettant de résoudre le problème. Percevant leur trop grande difficulté, l’institutrice a décidé de les faire travailler par cinq pour que les élèves qui avaient mis en place un début de méthode puissent le partager avec les autres. Après une trentaine de minutes en autonomie, l’institutrice a rassemblé l’ensemble des élèves pour une mise en commun. D’une part, afin de révéler les procédures utilisées et d’autre part pour dégager les difficultés persistantes de certains groupes. Cette séance s’est achevée par une correction de l’enseignante, aidée des élèves. Le temps consacré à la réalisation de cet exercice n’a pas été limité, et ce dernier s’est avéré plus long que prévu ; c’est pourquoi une deuxième séance a été nécessaire, et a eu lieu trois jours plus tard. Après un rapide rappel de l’exercice, les élèves ont dû résoudre une nouvelle fois l’exercice, seuls face à leurs étiquettes. L’objectif étant de voir, le nombre d’élèves capables de refaire l’exercice correctement, tout en sachant que lors de la première séance, l’exercice avait été corrigé.

II. Analyse de la situation

1. Phases de la situation didactique

D’après la théorie des situations de Guy Brousseau, il existe quatre phases différentes marquant les temps dominants des processus d’apprentissage. Se situant dans une perspective socioconstructiviste, Brousseau théorise ces différentes étapes sous le nom de dialectique, ce qui correspond à un « contrôle auto régulé des apprentissages ». Brousseau distingue quatre étapes qui devraient être présentes dans toutes situations d’apprentissage, à savoir, la dialectique de l’action, la dialectique de la formulation, la dialectique de la validation et pour finir, la dialectique de l’institutionnalisation. Tout d’abord, en ce qui concerne la dialectique de l’action, elle suppose que le problème posé à l’élève, le mette en difficulté afin de lui faire prendre conscience que l’enseignement auquel veut aboutir l’enseignant est la meilleure solution pour lui permettre de résoudre le problème posé. La dialectique de la formulation présuppose quant à elle un échange entre les élèves du groupe visant à obtenir la formulation d’un modèle explicite permettant la mise en mots de leur pensée. L’élève devra alors réutiliser le travail effectué dans cette phase, dans l’étape suivante, à savoir, la dialectique de la validation, dans laquelle l’élève devra convaincre de la validité du modèle qu’il propose face à un élève ayant un autre point de vue sur la situation en jeu. Enfin, la dialectique d’institutionnalisation est la phase où l’enseignant intervient en instituant le nouveau savoir, comme connaissance officielle devant être reconnue et dès lors utilisée par les élèves. Dans la situation didactique que nous étudions, nous retrouvons trois de ces quatre phases.

La dialectique de la formulation se retrouve dans le fait que l’institutrice ait demandé aux enfants de travailler en groupe de deux, puis de cinq. Le fait d’être en groupe oblige les enfants à communiquer et à se mettre d’accord sur un raisonnement unique aboutissant au résultat, en vue d’être énoncé lors de la mise en commun avec le reste de la classe, puisqu’une seule réponse était acceptée par groupe.

La dialectique de la validation se retrouve dans deux phases de ce problème, à savoir, lorsque que les enfants travaillent en autonomie en groupe de deux comme de cinq, car chaque enfants doit argumenter sa méthode pour que ce soit cette dernière qui soit retenue par l’exemple du groupe, mais aussi qu’elle soit celle énoncée lors de la mise en commun où chaque groupe doit convaincre que sa démarche est la meilleure.

Cela nous amène ensuite à la dialectique d’institutionnalisation, phase dans laquelle l’enseignante introduit la notion de proportionnalité, en démontrant son utilité au travers de la méthode du produit en croix

2. Forme générale du problème

L’activité mathématique regroupe différents types d’activités : résolution de problème, modélisation, argumentation, démonstration, validation, explication, élaboration de théories… Dans la situation analysée, les élèves sont amenés à résoudre un problème qui sera à la source de nombreux apprentissages (addition, multiplication, division, moitié…). Ils doivent répondre aux questions posées en mobilisant les notions qu’ils ont pu voir afin de se familiariser avec et de les réutiliser à bon escient. Les connaissances en mathématiques s’apprennent au cours de résolution de problème tel que celui-ci, il faut donc expliciter ces dernières et engendrer de nombreux exercices qui contribueront à leur mémorisation.

Pour résoudre des problèmes, il faut chercher car la solution n’est jamais immédiate. Les élèves se doivent de tâtonner, de faire des essais, de se tromper… En utilisant leurs connaissances et en les mettant en lien, ils peuvent ainsi donner une réponse en rédigeant convenablement la solution afin de convaincre les autres élèves. Pour le professeur, il faut donc accepter de laisser un temps suffisant aux enfants pour qu’il puisse chercher, il se doit de les laisser hésiter, se tromper et ne pas exiger une réponse parfaite tout de suite. Pour qu’il y ait une progression dans les apprentissages, cela suppose que l’enseignant ai défini au préalable les compétences à acquérir dans l’exercice. Dans la situation analysée, un temps a été donné aux élèves pour résoudre le problème. Cependant, devant les difficultés de certains, l’enseignante a par la suite décidé de regrouper les élèves en groupe de cinq alors qu’il avait commencé le travail en duo. En travaillant à plusieurs, ils peuvent avoir plus de facilités pour résoudre le problème car ils sont plusieurs à mobiliser leurs connaissances.

On retrouve plusieurs étapes dans la résolution de problèmes. Tout commence par la lecture de l’énoncé. Il faut par ce processus comprendre ce qui est dit, et se construire une représentation de la situation décrite en sélectionnant les indices dont on a besoin. Il faut donc regrouper les connaissances qui vont être mises en jeu lors de la lecture du problème (connaissance en mathématiques, vocabulaire,…). Par la suite, il y a l’étape de l’élaboration et de l’exécution de la procédure de résolution. Par ce processus de résolution d’un problème (en tenant compte que chaque élève ait fait l’expérience plusieurs fois d’aller au bout de la résolution), l’élève construit ses connaissances et peut ainsi changer sa représentation de mathématiques. La dernière étape consiste en la communication des résultats qui, s’ils s’avèrent justes, donnent une certaine satisfaction à l’enfant. Pour le problème présenté ici, ce même schéma a été suivi par l’enseignante et sa classe.

3. Les variables didactiques

D’après la définition de Brousseau, « un champs de problèmes peut être engendré à partir d’une situation par la modification de certaines variables qui, à leur tour, font changer les caractéristiques des stratégies de solution. Seules les modifications qui affectent la hiérarchie des stratégies sont à considérer variables pertinentes et parmi les variables pertinentes, celles que peuvent manipuler un professeur sont intéressantes et appelées variables didactiques. ». Ainsi, une variable didactique est un paramètre de la situation qui peut prendre plusieurs valeurs selon les décisions de l’enseignant. La variable didactique est susceptible de modifier le processus de résolution que les élèves vont adopter.

A proprement parlé, on ne peut pas dire qu’il y a eu des variables didactiques pour ce problème. L’exercice proposé a été travaillé au départ par groupe de deux puis par groupe de cinq mais malgré ce changement l’énoncé n’a pas été modifié et donc le processus de résolution est resté le même. De plus, devant les difficultés d’un grand nombre d’élèves, l’exercice a été refait quelques jours plus tard mais l’enseignante a gardé le même type d’exercice avec le même énoncé. Ainsi, comme dit précédemment, il n’y a pas eu de modifications dans les variables didactiques.

4. Aspects liés au contrat didactique

Chaque exercice proposé à une classe est soumis à un contrat didactique, qui correspond à l’ensemble des comportements des élèves attendus par l’enseignant ainsi que l’ensemble des comportements de l’enseignant attendus par l’élève. Ce contrat didactique définit un rôle bien distinct à chacun, établi par un ensemble de règles implicites ou explicites, que tout le monde se doit de respecter.

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