Devoirs math terminal stg cned

ire 0,5 point. Une question sans réponse ne rapporte et n’enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à l’exercice est ramenée à 0.

Le prix d’un produit A augmente de 12,3 % la première année et diminue de 5,2 % la seconde année. À l’issue de la première année, le prix du produit a été multiplié par : a) 0,877 b) 1,0123 c) 1,123 d) 0,9877 À l’issue des deux années, le prix a augmenté de : a) 18,1396 % b) 6,4604 % c)1,0646 % d) 7,1 % Le taux d’évolution annuel moyen sur les deux années est d’environ : a) 1,032 % b) 3,55 % c) 18,24 % d) 3,18 % Si le prix du produit avait augmenté de 4,6 % par an durant 5 ans, le taux d’évolution global pour ces cinq années aurait été de : a) (4,6)5 % b) (1,046)5 % c) 23 % d) 25,2 % à 0,1 % près.

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Exercice 2 - (6 points)

Un commerçant fait, en 2006, une étude sur le nombre de clients de ses magasins et de son évolution. Mois Magasin A Magasin B Janvier 2800 3200 Février +4% +2% Mars +3% +4% Avril –3% +2%

Pour chaque magasin, déterminer le taux global d’évolution de la fréquentation entre fin janvier et fin avril. Déterminer le nombre de clients du magasin B pour le mois d’avril. Déterminer le nombre total de clients du magasin A sur la période 01/01/2006 au 30/04/2006. Quel est le taux mensuel moyen d’évolution du nombre de clients sur cette période pour le magasin A ?

Exercice 3 - (5 points)

Le tableau ci-dessous donne le chiffre d’affaires des quatre premières compagnies pétrolières mondiales en milliards de dollars. CA Total BP ExxonMobil Shell 2002 107,7 178,7 178,9 179,4 2003 131,6 232,6 213,2 201,7 2004 166,2 285,6 264,0 265,2 2005 168,0 330,0 340,0 310,0

Source : Alternatives économiques, septembre 2005.

Reproduire et compléter à 10–1 près le tableau suivant en prenant comme indice 100 l’année 2002 pour chaque compagnie pétrolière. Quelle évolution veut-on visualiser en faisant ça ? CA Total BP ExxonMobil Shell Mêmes questions qu’en CA Total BP ExxonMobil Shell 2002 100 100 100 100 en attribuant, chaque année l’indice 100 à la compagnie Total. 2002 100 2003 100 2004 100 2005 100 2003 2004 2005

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Exercice 4 - (5 points)

On considère le nombre d’internautes en France (individus de 11 ans et plus) qui se sont connectés. A 1 Date B Nombre(millions) C Augmentation (en %) annuelle D Coefficient multiplicateur E Indice

2 3 4 5 6 7

2001 2002 2003 2004 2005

11,9 16,6 21,2 23,9 25,6

X

X

100

=MOYENNE. GEOMETRIQUE(D3:D6)

Recopier les données sur une feuille de tableur. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule C3 pour obtenir par recopie vers le bas les pourcentages de variation chaque année (on arrondira à 0,1 % près) ? Compléter alors la colonne C jusqu’en C6. Quelle formule doit-on saisir en D3 pour obtenir par recopie vers le bas les coefficients multiplicateurs ? Compléter alors la colonne D jusqu’en D6 (on arrondira à 0,001 près). a) Utiliser la fonction MOYENNE.GEOMETRIQUE en cellule D7. b) En déduire, dans la cellule C7, le calcul du taux d’évolution moyen des 4 évolutions successives sous forme de pourcentage arrondi à 0,01 % près. Quelle formule doit-on saisir en E3 pour obtenir les indices des différentes années, base 100 en 2001. Compléter alors la colonne E (en arrondissant à 0,1 près) jusqu’en E6 et en déduire le taux d’évolution global du nombre d’internautes entre 2001 et 2005. ■

Devoir 01-MA53-11

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Exercice 1 - (4 points)

On considère une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [−2, 3], et l’on note f‘ la fonction dérivée de f. La courbe représentative de f est la courbe (C) donnée en annexe. On admet que la courbe (C) possède les propriétés suivantes : – La courbe (C) passe par le point A(0, 10) ; – la tangente (T) en A à la courbe (C) passe par le point B(3, –5) ; – la courbe (C) admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses au point d’abscisse –1. En outre, la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle [−2; –1] et strictement décroissante sur l’intervalle [–1 ; 3]. Placer les points A et B et tracer la tangente en A à la courbe Γ . Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l’équation f(x) = 5, et donner un encadrement d’amplitude 0,5 de chaque solution . Pour cette question, on justifiera toutes les réponses. a) Donner la valeur de f‘(0) ; b) Résoudre l’équation f’(x) = 0 ; c) Résoudre l’inéquation f ‘(x) ≤ 0. Donner, en la justifiant, l’équation réduite de (T).

Exercice 2 - (4 points)

Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : f ( x ) = 2x 2 − 5x + 1− 3 pour x ≠ 0 4x g( x ) = 2x + 3 sur ⎤5 ; + ∞ ⎡ ⎦ ⎣ x−5 2 2x − 3x + 1 k( x ) = sur » x2 + 1

h( x ) = x x pour x > 0

Exercice 3 - (7 points)

Pour financer un échange scolaire, les 32 élèves d’une classe de seconde veulent vendre des nougats et des chocolats. Par souci d’économie, ils décident de commander les nougats et les chocolats en vrac chez un chocolatier, puis de faire eux-mêmes les emballages en achetant de petites boîtes en carton. Les prix du chocolatier sont donnés par les deux courbes fournies en annexe.

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La courbe (N) représente la fonction f, définie pour tout nombre réel x de l’intervalle [10 ; 100], qui donne le prix d’achat en euros de x kilogrammes de nougats. La courbe (C) représente la fonction g, définie pour tout nombre réel x de l’intervalle [10 ; 100], qui donne le prix, en euros, de x kilogrammes de chocolats. a) Déterminer graphiquement le prix, en euros, de 40 kilogrammes de nougats en faisant apparaître tous les tracés utiles sur le graphique complété. Sachant que le prix des nougats est proportionnel à la quantité achetée en déduire que pour tout nombre réel x de l’intervalle [10 ; 100], la fonction f est définie par f(x) = 35 x.

2 b) La fonction g est définie, pour tout nombre réel x de l’intervalle [10 ; 100] par : g( x ) = −0, 2x + 50 x + 80.

Calculer le prix, en euros, d’une commande de 40 kilogrammes de nougats et de 80 kilogrammes de chocolats. Ce résultat devra être justifié par un tracé sur le graphique. Retrouver le résultat par le calcul. a) Quel est le prix moyen, en euros, d’un kilogramme de chocolats pour une commande de 50 kilogrammes ? b) Montrer que le prix moyen, en euros, d’un kilogramme de chocolats pour une commande de x kilogrammes est donné par la fonction h définie, pour tout nombre réel x de l’intervalle [10 ; 100] par : h( x ) = −0, 2x + 50 + 80 . x

c) Pour tout nombre réel x de l’intervalle [10 ; 100], calculer h’(x) où h’ désigne la fonction dérivée de la fonction h. Vérifier que pour tout nombre réel x, h’(x) est strictement négatif. d) Quel est le sens de variations de h sur l’intervalle [10 ; 100] ? Que peut-on en déduire quant au prix moyen du kilogramme de chocolats en fonction de la quantité achetée ?

Exercice 4 - (5 points)

Le prix moyen d’un véhicule d’occasion dépend du nombre d’années de son ancienneté. Le tableau ci-dessous indique le prix moyen constaté du véhicule biomobile en l’an 2006 en fonction du nombre d’années d’ancienneté (les véhicules sortis en 2006 ont l’ancienneté x = 0). Nombre d’années d’ancienneté x Prix (en milliers d’euros) 0 16 1 10,8 2 8 3 6,8 4 5 4,4 6 3,8

Représenter graphiquement le prix de la biomobile en fonction de x en prenant les unités suivantes (1cm pour un an en abscisse, 1 cm pour 1000 € en ordonnées). On pose f ( x ) = 16000 , pour x appartenant à l’intervalle [0 ; 10]. 0, 5x + 1 −8000 pour tout x appartenant à [0 ; 10]. a) Montrer, en détaillant les calculs, que f '( x ) = (0, 5x + 1)2 En déduire le tableau de variations de f sur l’intervalle [0 ; 10]. b) A l’aide de la calculatrice, donner pour x entier, compris entre 0 et 10, les valeurs de f(x). On présentera les résultats sous forme de tableau et on les arrondira