Formulaire Math

2: Distribution (ou masse) de Dirac. = ϕ(0) = ϕ(a) notée aussi δ(x-a)

Lf (p) p Lf (p) - f(0+) p Lf (p) 1 Lf (p) p

δa est à support ponctuel = point a

Í=∑ δ

n

Peigne de Dirac (x) = ∑ δ(x-n) n noté aussi

Í

Quelques propriétes de δ δ (-x) = δ (x) f(x) δ(x-a) = f(a) δ(x-a) δ a x-x0 = 1 δx 0 a 1 δ g x =∑ δ x-xj g'( xj) j

Exemple 3: vp 1 x

S

n

g = fonction , xj zéro de g(x), g'(xj)≠0

Pf 12 ∈ ' x ϕ(x) 1 , ϕ = lim dx vp x ε→0 x ≥ ε x 2 ϕ(0) ϕ(x) Pf 12 , ϕ = lim dx ε x ε→0 x ≥ ε x2

Transformées de Laplace remarquables δ 1 1 Y p 1 –at Ye p+a p Ycos(ωt) p2 + ω 2

Maths pour la physique Ecole des Mines Nancy

PRODUIT DE CONVOLUTION Des Fonctions

TRANSFORMEE DE FOURIER

DISTRIBUTIONS PERIODIQUES

Des fonctions: définition

h (x) =f∗g =

-∞

+∞ +∞

-∞

f(y) g(x-y) dy

Si l'intégrale existe. Assuré si f(x) ∈L1, L2

f(x)=∑ cn e 2iπ n a avec cn = 1 a

n

Ff (u) =

f(x) e – 2iπ u x dx

x

s s+a

Fonctions périodiques f(x) fonction a-périodique, f ∈ L1 loc

f(x) e–2iπ n a dx

x

(Si l'intégrale existe)

Formule de Plancherel

Conditions suffisantes d'existence: f et g ∈L1 ⇒ h ∈L1 (algèbre de convolution)

ou: L1* L2, L1* L2, L1* Lloc, E+* E+, L1 * K loc

∞

f(x) g(x) dx =

(si les intégrales existent)

Ff(u) Fg(u) du

S S

Distributions périodiques T est a-périodique si: < T(x), ϕ(x)> = < T(x), ϕ(x+a)>

Des distributions : définition Des distributions tempérées Transformée de Fourier seulement si T∈ ' < T , ϕ> = < T , ϕ > Si en outre T∈ ' ⊂ '

< S*T , ϕ > = < S(x) , < T(y),ϕ (x+y> >

F

Conditions suffisantes d'existence: Inverse

E S

F

T ∈ ' et ∃ S à support borné tel que: x T = S * ∑ δ ( x-na) = S * 1 a a n

Í

FT (u) = < T(x), e -2iπ u x >

Généralisation des séries de Fourier:

x T = ∑ cn e 2iπ n a avec cn = 1 a n

FS n a

Transformée de Fourier

- L'une des distributions est à support borné -Les deux sont bornées du même coté.

autres possibilités à examiner cas par cas

F =F

-1

-1

F

(f) =

v

F( f )

Propriétés ——>

FT(u) = ∑ c

n

n

. δ (u- n ) a

Relation fondamentale

Propriétés S*T=T*S S * (T * U) = (S * T) * U T (x) T' T(x-a) T(ax)

Dérivation

FT (u) 2iπ u FT(u) e– 2iπ u a FT(u) 1 FT( u ) a a

F Í x =Í u =∑ e

n

-2 i π n u

e 2iπ u0 x T(x)

S*T S.T -2iπ xT(x)

ou encore:

(S * T )' = S'* T = S * T'

1 F ∑ δ (x-na) = a ∑ δ(u- n ) =∑ e a

n n n

–2 i π n a u

Produits remarquables

FT (u-u0) FS . FT FS * FT (FT)'

1*Tf =

-∞

-∞

f(x) dx

QUELQUES TRANSFORMEES DE FOURIER

Ga(x)= 1 exp – x2 a 2π 2 a2

δ*T=T δ' * T = T' δ (x-a) * T(x)= T (x-a)

1 G1 2π a u a 2π

Fonction de corrélation

ϕ (x) =f ✸ g =

+∞

Í

Í

Rect (x) =

0 si x > 1/2 1 si x < 1/2

sinc (u) =

sin (πu) πu

-∞

f(y) g(x+y) dy

e- a x Ye-x

=