Mathématiques

Université Paris 1 - L1 Mass

Analyse Réelle 1  -  Juin 2015

Durée : 2 heures (sans documents, calculatrice ou mobile)

Exercice 1.  

        n        k

(−1)[pic 1]

Soit la suite de terme général vn

=0

1.a) Expliciter les quatre premiers termes de la suite v0 ,v1,v2 ,v3

1.b) Montrer que les suites extraites (u2n)n∈ℕ et (u2n+1)n∈ℕ sont adjacentes

Exercice 2.

Soit        f :ℝ→ℝ une fonction périodique

1. La fonction  f  est-elle forcément bornée ?
2. Démontrer que  f  ne peut pas diverger vers +∞ en +∞
3. On suppose que  f  admet une limite (finie) en +∞ , démontrer que  f  est constante

Exercice 3.

1. Calculer le développement limité à l'ordre 4 en  0  de la fonction        x →[pic 2]

On considère maintenant la fonction

f :[−1 ,1]→ℝ, x → x+1−√1−x2  si x≠0 ,et f (0)=1 x

1. La fonction  f  est-elle continue au point  0 ?
2. Calculer la dérivée de  f  en tout point non nul
3. Calculer la limite éventuelle du taux d'accroissement de  f  en  0
4. La fonction  f '  est-elle continue ?

Exercice 4.  Etudier la fonction        x →[pic 3] et tracer sa courbe représentative

L l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l  l l l l l l l  l l l l l l l l l l l l l l l l ll l l l l l l  l l