Corrigé Bts math 2066

me en CPI depuis 2007.

EXERCICE 3

remarque: la notation

i Cn n’est plus utilisée ni en BTS ni au lycée, elle est remplacée par ⎛ ⎞ ⎜ i⎟

n

⎝ ⎠

⎛ n⎞ n! qui veut dire la même chose et se prononce “i parmi n”. Donc ⎜ ⎟ = . Maintenant ⎝ i ⎠ i!( n − i )!

voici les polynômes de Bézier:

B0,3 ( t ) = (1 − t ) = 1 − 3t + 3t 2 − t 3

3

2

B1,3 ( t ) = 3t (1 − t ) = 3t 1 − 2t + t 2 = 3t − 6t 2 + 3t 3

2 2 3

B0,3 ( t ) = t 3 Pour la courbe 1: ⎧ x (t ) = 4 B1,3 (t ) + 4 B2,3 (t ) ⎪ ⎨ ⎪ y (t ) = 3B0,3 (t ) + 3B1,3 ( t ) + 6B2, 3 (t ) + 6B3,3 ( t ) ⎩ ⎧ x (t ) = 4 3t − 6t 2 +3t 3 + 4 3t 2 −3t 3 ⎪ ⎨ ⎪ y (t ) = 3 1 −3t + 3t 2 − t 3 + 3 3t −6t 2 + 3t 3 + 6 3t 2 − 3t 3 + 6t 3 ⎩ 2 ⎧ ⎪ x (t ) = 12t − 12t ⎨ 2 3 ⎪ y (t ) = 3 + 9t − 6t ⎩ Pour le double tableau de variations, je dérive x(t) et y(t): ⎧ ⎛1 ⎞ ⎪ x ′ ( t ) = 12 − 24t = 24 ⎜ − t ⎟ ⎝2 ⎠ donc y est croissante pour t ∈[ 0;1] ⎨ ⎪ y′ ( t ) = 18t − 18t 2 = 18t (1 − t ) > 0 ⎩ n tandis que x croît jusqu’à t=1/2 puis décroît. Tangente horizontale

B2,3 ( t ) = 3t (1 − t ) = 3t − 3t

(

)

Pour la courbe 2: ⎧ x ′ ( t ) = −4t ⎧ x ′ (1) = −4 ⎪ ⎪ donc ⎨ ⎨ 11 11 1 . Ceci correspond au ⎪ y′ ( t ) = − 2 + 5t ⎪ y′ (1) = − 2 + 5 = − 2 ⎩ ⎩ point A5. En effet, A0 correspond à t=0 et A5 à t=1, propriété des points de définition d’une courbe de Bézier. Par contre les points intermédiaires, A4 ici, et A1 et A2 dans la courbe 1, ne sont pas des points de la courbe, ils ne correspondent à aucune valeur de t. Une autre propriété, qu’on nous demande de démontrer ici dans cette question a), concerne le vecteur tangent en t=1. C’est en fait le vecteur −2 ⎞  ⎛    A4 A5 . Prouvons le par le calcul: A4 A5 ⎜ 1 ⎟ et ceci est proportionnel ⎜− ⎟ ⎝ 4⎠

⎛ −2 ⎞ ⎧−4  ⎧ x′ (1) = −4 ⎪ ⎪ au vecteur Tt =1 ⎨ 1 trouvé précédemment, car 2 × ⎜ 1 ⎟ = ⎨ 1 ⎜ − ⎟ ⎪− ⎪ y′ (1) = − 2 ⎝ 4⎠ ⎩ 2 ⎩

(

(

) (

) (

)

) (

)

pour justement t=1/2, qui correspond à

⎧ ⎛ 1⎞ ⎪x⎜ 2 ⎟ = 6 − 3 = 3 ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ ⎪ y ⎛ 1 ⎞ = 3 + 9 − 6 = 18 = 9 ⎪ ⎜ ⎟ 4 8 4 2 ⎩ ⎝ 2⎠