Math Vecteur

la position de points dans un plan. Pour cela on prend deux vecteurs non colinéaires du plan et on les place à une même origine. On obtient un repère du plan.

Nous pouvons maintenant repérer la position de n'importe quel point M: pour cela on exprime le vecteur en fonction des vecteurs et . Les nombres et tels que sont alors appelés les coordonnées de M dans le repère . On note .

Lorsque les vecteurs et forment un angle droit on dit que le repère est orthogonal, et si en plus ils sont de même longueur on dit que le repère est orthonormé.

Repères orthonormés

Dans un repère orthonormé:

1. Si et alors la longueur AB vaut . Cette propriété provient du théorème de Pythagore dans le triangle ABP ci-contre.

Dans l'exemple à droite, si on applique la formule, on trouve .

2. Si on connaît les coordonnées de deux points et et si est le milieu de [AB] alors on peut calculer les coordonnées de I en réalisant la moyenne des coordonnées de A et de B. On a:

3. On peut attribuer des coordonnées à un vecteur. L'abscisse d'un vecteur, c'est de combien il avance, et son ordonnée, c'est de combien il monte. Si un vecteur passe par deux points et , alors .

4. Si deux vecteurs et sont colinéaires, alors . Réciproquement si deux vecteurs et sont tels que alors ils sont colinéaires.

En effet si et sont colinéaires, alors il existe forcément un nombre k tel que . Donc les coordonnées de sont égales aux coordonnées de multipliées par un même nombre k. On a donc:

En isolant k dans une équation et en remplaçant sa valeur dans l'autre équation on obtient .