Analyse en composante principale

maximum d’informations possibles en en perdant le moins possible pour : • Faciliter l’interprétation d’un grand nombre de données initiales • Donner plus de sens aux données réduites L’ACP permet donc de réduire des tableaux de grandes tailles en un petit nombre de variables (2 ou 3 généralement) tout en conservant un maximum d’information. Les variables de départ sont dites ‘métriques’.

L’Analyse en Composantes Principales – Ludovic LE MOAL © 2002

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La démarche à suivre sous SPSS

Aller dans Analyze > Data Reduction > Factor… La boîte de dialogue suivante apparaît alors :

On choisit les variables qui nous paraissent les mieux adaptées à l’analyse en les sélectionnant dans la partie de droite puis en cliquant sur la flèche qui pointe vers la droite. Cinq boites de dialogue d’options s’offrent maintenant à nous : 1. Descriptives… 2. Extraction… 3. Rotation… 4. Scores… 5. Options… que nous allons maintenant examiner une à une.

1. « Descriptives… »

La boîte de dialogue « Factor Analysis : Descriptives » apparaît.

Dans « Correlation Matrix », cliquer sur « Coefficients » et « KMO and Bartlett’s test of sphericity ».

2. « Extraction… »

La boîte de dialogue « Factor Analysis : Extraction » apparaît.

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Cliquer sur « Scree Plot » (Graphique des valeurs propres). Ne pas toucher aux autres options.

3. « Rotation… »

La boîte de dialogue « Factor Analysis : Rotation » apparaît.

Pour l’instant, il ne faut rien toucher dans « Method ». L’option « Varimax » pourra être choisie si les résultats ne sont pas suffisants dans un premier temps. Par contre, cocher l’option « Loading plot(s) » (Carte(s) factorielle(s)). Cette option permet d’avoir une représentation des différents axes.

4. « Scores… »

La boîte de dialogue « Factor Analysis : Factor Scores » apparaît.

Pour l’instant, il ne faut toucher à rien. L’option « Save as variables » (enregistrer dans des variables) permettra d’attribuer à chaque individu ses coordonnées factorielles une fois l’analyse terminée.

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5. « Options… »

La boîte de dialogue « Factor Analysis : Options » apparaît.

Choisir l’option « Sorted by size » (Classement des variables par taille) dans Affichage des projections.

Analyse des résultats

Analyser les résultats d’une ACP, c’est répondre à trois questions : 1. Les données sont-elles factorisables ? 2. Combien de facteurs retenir ? 3. Comment interpréter les résultats ?

1. Les données sont-elles factorisables ?

Pour répondre à cette question, dans un premier temps, il convient d’observer la matrice des corrélations (« Correlation Matrix »). Si plusieurs variables sont corrélées (> 0.5), la factorisation est possible. Si non, la factorisation n’a pas de sens et n’est donc pas conseillée.

Correlation Matrix Vehicle type 1,000 -,040 ,268 ,013 ,391 ,251 ,141 ,524 ,599 Price in thousands -,040 1,000 ,623 ,838 ,106 ,323 ,150 ,526 ,424 Engine size ,268 ,623 1,000 ,836 ,470 ,688 ,537 ,760 ,667 Horsepower ,013 ,838 ,836 1,000 ,283 ,536 ,387 ,610 ,504 Wheelbase ,391 ,106 ,470 ,283 1,000 ,682 ,840 ,651 ,654 Width ,251 ,323 ,688 ,536 ,682 1,000 ,709 ,721 ,658 Length ,141 ,150 ,537 ,387 ,840 ,709 1,000 ,627 ,565 Curb weight ,524 ,526 ,760 ,610 ,651 ,721 ,627 1,000 ,864 Fuel capacity ,599 ,424 ,667 ,504 ,654 ,658 ,565 ,864 1,000

Correlation

Vehicle type Price in thousands Engine size Horsepower Wheelbase Width Length Curb weight Fuel capacity

Dans notre exemple, plusieurs variables sont correllées entre elles : Dans un deuxième temps, il faut observer l’indice de KMO (Kaiser-Meyer-Olkin) qui doit tendre vers 1. si ce n’est pas le cas, la factorisation n’est pas conseillée. Pour juger de l’indice de KMO, on peut utiliser l’échelle suivante : • 0,50 et moins est misérable • entre 0,60 et 0,70, c’est médiocre • entre 0,70 et 0,80 c’est moyen • entre 0,80 et 0,90 c’est méritoire • et plus 0,9 c’est merveilleux.

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Enfin, on utilise le test de sphéricité de Bartlett. : si la signification (Sig.) tend vers 0.000, c’est très significatif, inférieur à 0.05 significatif, entre 0.05 et 0.10 acceptable et au dessus de 0.10, on rejette.

KMO and Bartlett's Test Kaiser-Meyer-Olkin Measure of Sampling Adequacy. Bartlett's Test of Sphericity Approx. Chi-Square df Sig. ,810 1212,128 28 ,000

Si l’ACP satisfait à au moins deux de ces trois conditions, on peut continuer.

2. Combien de facteurs retenir ?

Trois règles sont applicables : • • 1ere règle : la règle de Kaiser qui veut qu’on ne retienne que les facteurs aux valeurs propres supérieures à 1. 2eme règle : on choisit le nombre d’axe en fonction de la restitution minimale d’information que l’on souhaite. Par exemple, on veut que le modèle restitue au moins 80% de l’information.

Pour ces deux premières règles, on examine le tableau « Total Variance Explained ».

Total Variance Explained Initial Eigenvalues % of Variance Cumulative % 64,008 64,008 18,874 82,882 6,205 89,087 4,100 93,187 2,793 95,980 1,757 97,736 1,433 99,169 ,831 100,000 Extraction Sums of Squared Loadings Total % of Variance Cumulative % 5,121 64,008 64,008 1,510 18,874 82,882

Component 1 2 3 4 5 6 7 8

Total 5,121 1,510 ,496 ,328 ,223 ,141 ,115 6,645E-02

Extraction Method: Principal Component Analysis.

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3eme méthode : le « Scree-test » ou test du coude. On observe le graphique des valeurs propres et on ne retient que les valeurs qui se trouvent à gauche du point d’inflexion. Graphiquement, on part des composants qui apportent le moins d’information (qui se trouvent à droite), on relie par une droite les points presque alignés et on ne retient que les axes qui sont au dessus de cette ligne.

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Scree Plot

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