Maths Es

En tenant compte de ces prix moyens et des choix probables des étudiants (voir partie A), il désire calculer la cotisation à demander par étudiant. Soit P la variable aléatoire représentant le coût d’achat des livres par étudiant. 1. Quelles sont les valeurs possibles de P ?      si l’étudiant choisit seulement une bande dessinée, le coût d’achat sera : P = 9,6 si l’étudiant choisit seulement un roman, le coût d’achat sera : P = 10 si l’étudiant choisit une bande dessinée et un magazine, le coût d’achat sera : P = 9,6 + 6 = 15,6 si l’étudiant choisit un roman et un magazine, le coût d’achat sera : P = 10 + 6 = 16 si l’étudiant choisit un livre de cours, le coût d’achat sera : P = 20 P {9,6 ; 10 ; 15,6 ; 16 ; 20} 2. Déterminer la loi de probabilité de P ; on présentera les résultats sous forme d’un tableau. Les résultats seront arrondis au millième. p(MB) = p(B)  pB(M) = p(B)  (1  pB(M) = 0,3  (1  0,8) = 0,3  0,2 = 0,06 p(MR) = p(R)  pR(M) = p(R)  (1  pR(M) = 0,2  (1  0,5) = 0,2  0,5 = 0,1 p(MB) = 0,24 D’où la loi de probabilité de P :

xi pi = p(P = xi) 9,6 0,06 10 0,1 15,6 0,24 16 0,1 20 0,5

 

 

p(MR) = 0,1

p(C) = 0,5

3. Calculer l’espérance de cette loi. E(P) =  xi pi

i=1 i=5

E(P) = 9,6  0,06 + 10  0,1 + 15,6  0,24 + 16  0,1 + 20  0,5 E(P) = 16,92 4. Quelle cotisation, arrondie à l’euro près, le bibliothécaire doit-il prévoir pour un étudiant ? Le bibliothécaire doit donc prévoir une cotisation de 17 € pour un étudiant.

Exercice 2: Statistiques (5 points)

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement Spécialité

Une association organise chaque année un séjour qui s’adresse à des adultes handicapés. À sa création en 2001, dix adultes handicapés sont partis durant cinq jours. Ainsi, on dira qu’en 2001 le nombre de « journées participant » est de 5×10 soit 50. Le tableau suivant donne le nombre de « journées participant » de 2001 à 2011. Années Rang de l’année xi Nombre de « journées participant » yi 1. 2001 0 50 2002 1 130 2003 2 200 2004 3 240 2005 4 250 2006 5 280 2007 6 300 2008 7 320

Calculer le pourcentage d’augmentation du nombre de « journées participant » de 2001 à 2004, puis celui de 2004 à 2005. 240  50 250  240  100 = 380 et  100  4,17 50 240 Le nombre de « journées participant » a augmenté de 380% de 2001 à 2004, puis de 4,17% environ de 2004 à 2005.

2.

Ces données sont représentées par le nuage de points ci-dessous.

On considère qu’un ajustement affine n’est pas pertinent. L’allure du nuage suggère de chercher un ajustement de y en x de la forme y = k ln(ax + b) où k, a et b sont trois nombres réels. Pour cela on pose : zi = e

yi 100

Dans cette question les calculs seront effectués à la calculatrice.Aucune justification n’est demandée. Les résultats seront arrondis au centième.

a) Compléter le tableau suivant : Rang de l’année xi Nombre de « journéesparticipant » yi

yi

0 50

1 130

2 200

3 240

4 250

5 280

6 300

7 320

zi = e 100

1,65

3,67

7,39

11,02

12,18

16,44

20,09

24,53

b) On a représenté ci-dessous le nuage de points associé à la série (xi ; zi) dans un repère. Donner les coordonnées du point moyen de cette série et placer ce point sur le graphique. Les coordonnées du point moyen G sont : ( ;  avec : x z),

 = 3,5 et x

 = 12,12125 z

G (3,5 ; 12,12125)

c) Déterminer une équation de la droite (D) d’ajustement affine de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Représenter la droite (D) sur legraphique précédent. Les coefficients donnés par la calculatrice sont : a  3,22 et b  0,85

Une équation de la droite d'ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés est : z = 3,22 x + 0,85 La droite (D) passe par le point G et par le point A(0 ; 0,85). d) Sachant que zi = e 100, déterminer l’expression de y en fonction de x.

y yi

z = 3,22 x + 0,85

y

or z = e 100

on a donc :

e 100 = 3,22 x + 0,85

y

ce qui équivaut à : ln (e 100) = ln (3,22 x + 0,85) On en déduit : puis finalement : 3. y = ln (3,22 x + 0,85) 100 y = 100 ln (3,22 x + 0,85)

On suppose que l’évolution du nombre de « journées participant » se poursuit dans un futur proche selon le modèle précédent. a) Estimer, à l’unité près, quel serait le nombre de « journées participant »prévu pour l’année 2011. L’année 2011 correspond à x = 10, donc y = 100 ln (3,22  10 + 0,85) = 100 ln(33,05) y  350 Avec ce modèle, le nombre de « journées participant »prévu pour l’année 2011 serait de 350. b) En réalité, le nombre de « journées participant » en 2011 a été de 390. Si l’écart en valeur absolue entre la valeur estimée et la valeur réelle est inférieur à 10% de la valeur réelle, on considère que le modèle est pertinent. Est-ce le cas ? 390  350 = 40 et 10  390 = 39, donc 100

l’écart en valeur absolue entre la valeur estimée et la valeur réelle est supérieur à 10% de la valeur réelle, donc on peut considérer que ce modèle n’est pas pertinent.

Exercice 3: (5 points)

Commun à tous les candidats

Pour chaque question des deux premières parties, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Chaque bonne réponse apporte 0,5 point et chaque erreur fait perdre 0,25 point. L’absence de réponse n’apporte ni ne fait perdre de point.

PREMIERE PARTIE

: QCM

Dans cette partie, on considère la courbe représentative d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [−1 ; 5] (voir ci-contre). On note f ' la dérivée de la fonction f. 1. On peut affirmer que : Réponse A : f ' (4,5) = 0 Réponse B : f ' (3) = 0 Réponse C : f ' (3) = 4,5 2. Soit F une primitive sur l’intervalle [−1 ; 5] de la fonction f. Alors : Réponse A : F est décroissante sur l’intervalle [3 ; 4,5] Réponse B : F présente un minimum en x = 0 Réponse C : F présente un maximum en x = 4,5.

SECONDE PARTIE

: QCM

1. Augmenter de 8% puis diminuer de 8% c’est : Réponse A : revenir à la quantité initiale Réponse B : augmenter la quantité initiale de 0,64% Réponse C : diminuer la quantité initiale de 0,64% e 8 2. Soit A = 2 ln   + 5ln2 + ln  . Ce réel A est égal à : 4  e Réponse A : 1 + 4 ln2 Réponse B : 6 ln2 + 1 Réponse C : autre réponse 2 3. La limite de ln   quand x tend vers +∞ est : x Réponse A : 0 Réponse B :  ∞ Réponse C : autre réponse 4. Pour tout réel x , le nombre Réponse A :  Réponse B : 1 2 ex  1 est égal à : ex + 2

e x  1 e x + 2 1  e x Réponse C : 1 + 2e x

5.

Si  5 f(x)dx = 1,9 et  0 f(x)dx =  0,9 alors  5 f(x)dx est égal à : 0 2 2 Réponse A : 1 Réponse B :  2,8 Réponse C : 2,8

6. Ci-dessous on a tracé la représentation graphique d’une fonction f ainsi qu’une droite D passant par les points de Cf d’abscisses respectives 2 et 4. T est la tangente à Cf au point d’abscisse 2

Réponse A : L’aire du domaine limité par Cf, la droite D et les droites d’équations respectives x = 2 et x = 4, en unités d’aire, est égale à 24 (f(x)  x)dx)  Réponse B : L’aire du domaine limité par Cf, la droite D et les droites d’équations respectives x = 0 et x = 2,  en unités d’aire, est égale à 02 (f(x) 