Cours Sur Les Équations Différentielles

l’´quation (1) admet une unique solution γ : I → Ω e e e v´rifiant la condition initiale γ(t0 ) = x0 . e Il est important d’avoir une estimation explicite de la taille de l’intervalle sur laquelle la solution existe qui soit ind´pendante de k. Nous verrons dans le th´or`me e e e 2 une variante de ce r´sultat lorsque Ω = Rn , souvent pratique pour les applications. e Le th´or`me 1 est souvent appliqu´ en faisant l’hypoth`se « f localement lipe e e e schitzienne en x ». Cela signifie que pour tout (t0 , x0 ) dans I × Ω, il existe un voisinage I de t0 dans I, un voisinage U de x0 dans Ω et une constante k tels que l’in´galit´ (3) soit valable pour tout t dans I et tous x1 et x2 dans U . C’est le cas e e par exemple si f est d´rivable par rapport ` x sur I × Ω et que la d´riv´e partielle e a e e ∂f /∂x : I × Ω → Rn est une fonction continue. Le th´or`me de Cauchy–Lipschitz fournit alors l’existence et l’unicit´ d’une solue e e tion locale avec condition initiale fix´e. Notons que par un argument de compacit´1, e e pour tout [t1 , t2 ] ⊂ I et tout compact K ⊂ Ω, il existe une constante k telle qu’on ait l’in´galit´ (3) sur [t1 , t2 ] × K (sans que cela bien sˆr nous permette d’agrandir la e e u taille de l’intervalle sur laquelle la solution construite est d´finie). e

chaque (t, x) ∈ [t1 , t2 ] × K, on obtient un voisinage It,x de t dans I et un voisinage de x dans Ω, qui contient B(x, 2rt,x ), sur lesquels on a une in´galit´ (3) avec une constante kt,x . Le e e compact [t1 , t2 ] × K est recouvert par un nombre fini de Iti ,xi × B(xi , rti ,xi ). Soit r le plus petit des rti ,xi , soit k le plus grand des kti ,xi et soit M un majorant de |f | sur [t1 , t2 ] × K. Soient t ∈ [t1 , t2 ] et x1 , x2 ∈ K, avec (t, x1 ) ∈ Iti ,xi × B(xi , rti ,xi ). Si x2 ∈ B(xi , 2rti ,xi ), on a la majoration (3) avec k ; sinon, x1 − x2 ≥ rti ,xi ≥ r et on a la majoration (3) avec 2M/r.

1Pour

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Exercice 1. Montrer que pour toute condition initiale, il existe une solution de l’´quation diff´rentielle e e x = sin tx ˙ d´finie sur R. e Exercice 2. D´terminer des solutions maximales de l’´quation diff´rentielle e e e x = x2 ˙ Montrer qu’il existe une infinit´ de solutions maximales avec la mˆme condition e e initiale. Exercice 3. R´soudre le syst`me diff´rentiel e e e x = x2 − y 2 ˙ y = ˙ 2xy en posant z = x + iy.

Lorsque l’application f n’est plus localement k-lipschitzienne en x, il peut ne pas y avoir unicit´ des solutions. En revanche, il y a toujours existence (th´or`me e e e de Cauchy–Peano–Arzela, [D], p. 127). Exemples 1. (1) Les fonctions t → 0 et t → t|t| sont solutions de la mˆme ´quation e e diff´rentielle x = 2 |x| et prennent la mˆme valeur en 0. e ˙ e 3 (2) Les fonctions t → 0 et t → t sont solutions de la mˆme ´quation diff´rentielle e e e x = 3x2/3 et prennent la mˆme valeur en 0. ˙ e ´ ´ ` 2. Demontrer le theoreme de Cauchy–Lipschitz Il y a plusieurs fa¸ons de d´montrer le th´or`me de Cauchy–Lipschitz. c e e e La m´thode du point fixe. La premi`re remarque est que r´soudre l’´quation (1) e e e e avec la donn´e initiale γ(t0 ) = x0 ´quivaut ` r´soudre l’´quation int´grale e e a e e e

t

γ(t) = x0 +

t0

f (s, γ(s)) ds

o` γ est une fonction continue ` valeurs dans Ω. L’ensemble X des applications u a continues de I dans B(x0 , r) muni de la distance δ de la convergence uniforme est un espace m´trique complet, et on cherche un point fixe de l’application T : X → X e d´finie par e

t

T : γ −→ x0 +

t0

f (s, γ(s)) ds

(on v´rifie, et c’est l` que le choix du cylindre de s´curit´ intervient, que T (γ) est e a e e bien encore dans X). Pour appliquer un th´or`me de point fixe, on veut montrer e e que T est contractante. Or on calcule T (γ1 )(t) − T (γ2 )(t) ≤ k|t − t0 |δ(γ1 , γ2 )

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qui n’est pas suffisant, puisque l’on ne sait rien sur k. En revanche, on v´rifie facie lement par r´currence sur m e k m |t − t0 |m (kη )m T m (γ1 )(t) − T m (γ2 )(t) ≤ δ(γ1 , γ2 ) ≤ δ(γ1 , γ2 ) m! m! de sorte que l’application T m est bien contractante pour m 0. Elle admet donc un unique point fixe, et T aussi. Notons que le choix de η , c’est-`-dire celui de I , est conditionn´ par le fait que a e l’on veut que l’application T envoie X dans lui-mˆme. Lorsque Ω = Rn , on peut e prendre r = +∞ et la mˆme d´monstration s’applique avec η = η, sous r´serve que e e e f soit k-lipschitzienne en x sur [t0 − η, t0 + η] × Rn . On a donc d´montr´ le r´sultat e e e suivant. Th´or`me 2. Soit I un intervalle ouvert, soit k : I → R+ une fonction continue e e et soit f : I × Rn → Rn une fonction continue v´rifiant e f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ k(t) x1 − x2 pour tout x1 , x2 dans Rn et tout t dans I. Pour toute condition initiale, il existe une solution de l’´quation (1) d´finie sur I. e e Avec les notations pr´c´dentes, f est k-lipschitzienne en x sur [t0 −η, t0 +η]×Rn , e e avec k = maxt∈[t0 −η,t0 +η] k(t). Ce th´or`me s’applique en particulier aux ´quations diff´rentielles lin´aires, e e e e e c’est-`-dire aux ´quations pour lesquelles f (t, x) = A(t)(x), o` A : I → Mn (R) a e u est une fonction continue.

Exercice 4. Montrer que pour toute condition initiale, il existe une solution de l’´quation diff´rentielle e e x = t x2 + t2 ˙ d´finie sur R. e

La m´thode des solutions approch´es. On appelle solution ε-approch´e une e e e fonction γ : J → Ω de classe C 1 par morceaux qui v´rifie e γ(t) − f (t, γ(t)) ≤ ε ˙ pour tout point t dans J en lequel γ est d´rivable. On peut construire de telles e solutions par la m´thode d’Euler (ou m´thode de la tangente) : partant de γ(t0 ) = x0 e e et d’une subdivision de l’intervalle J, on prolonge γ sur l’intervalle de la subdivision qui contient t0 en une fonction affine de d´riv´e f (t0 , x0 ) et ainsi de suite sur les e e autres intervalles. Si le pas de la subdivision est h, la fonction ainsi construite est kh(M + 1)-approch´e. e Pour montrer qu’une suite de solutions approch´es converge vers une (vraie) e solution, on utilise le lemme suivant, tr`s pratique, sur les in´quations diff´rentielles. e e e

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Lemme 1 (Gronwall). Soit g : [t0 , t1 [×R+ → R+ une fonction continue. Soit ρ : [t0 , t1 [ → R une fonction d´rivable v´rifiant e e (4)

n

ρ(t) = g(t, ρ(t)) ˙ γ(t) < g(t, γ(t) ) ˙ pour tout t ∈ [t0 , t1 [ , γ(t) < ρ(t) γ(t0 ) ≤ ρ(t0 )

et soit γ : [t0 , t1 [ → R une fonction d´rivable v´rifiant e e Alors (5) pour tout t ∈ ]t0 , t1 [. On peut appliquer ce lemme dans la situation suivante. Supposons qu’il existe une fonction continue g : I × R+ → R+ telle que, pour tout (t, x) dans I × Ω, on ait f (t, x) < g(t, x ) Soient γ une solution de (1) et ρ une solution de (4) v´rifiant γ(t0 ) = ρ(t0 ) pour e un t0 dans I. Alors, γ(t) < ρ(t) pour tout t > t0 dans I. ´ Demonstration du lemme. En utilisant des d´veloppements limit´s, on constate e e que (5) est v´rifi´e pour t − t0 > 0 assez petit. Si la conclusion est fausse, il existe e e un plus petit t2 ∈ ]t0 , t1 [ en lequel on a γ(t2 ) = ρ(t2 ). On a alors γ(t) < ρ(t) pour t ∈ ]t0 , t2 [ et (6) γ(t2 ) < g(t2 , γ(t2 ) ) = g(t2 , ρ(t2 )) = ρ(t2 ) ˙ ˙ γ(t) ≥ γ(t2 ) − (t2 − t) γ(t2 ) + o(t2 − t) ˙ ρ(t) = ρ(t2 ) − (t2 − t)ρ(t2 ) + o(t2 − t) ˙ > ρ(t2 ) − (t2 − t) γ(t2 ) + o(t2 − t) ˙ ce qui contredit (6). Supposons que f soit k-lipschitzienne sur le cylindre de s´curit´ C . Soit γ1 une e e solution ε1 -approch´e de (1) et γ2 une solution ε2 -approch´e prenant la mˆme valeur e e e en t0 . Pour tout ε > 0, la fonction γ : t → γ2 (t) − γ1 (t) v´rifie l’in´quation diff´rentielle e e e γ(t) < ε + ε1 + ε2 + k γ(t) ˙ et γ(t0 ) = 0. On d´duit du lemme de Gronwall que γ(t) est inf´rieur, pour t > t0 , e e a ` la solution de l’´quation diff´rentielle e e ρ(t) = ε + ε1 + ε2 + kρ(t) ˙ Un d´veloppement limit´ en t2 donne, pour t ∈ ]t0 , t2 [, e e

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valant 0 en t0 . On obtient (en faisant tendre ε vers 0) ek|t−t0 | − 1 k pour tout t dans I (le cas t < t0 se traite de fa¸on similaire, et donne lieu ` la valeur c a absolue dans le membre de droite). Cela entraˆ d’une part l’unicit´ (en prenant ıne e ε1 = ε2 = 0), d’autre part l’existence : si (εm ) est une suite de r´els strictement poe sitifs tendant vers 0, toute suite de solutions εm -approch´es converge uniform´ment e e sur tout compact. γ2 (t) − γ1 (t) ≤ (ε1 + ε2 )

Exercice 5. Soit f : R × R → R une fonction continue. On consid`re une e solution γ : [t0 , t1 [ → R de l’´quation